Identidades notables: fórmulas y cómo factorizar

Santiago: «Tengo un cuadrado grande, 6 tiras y 9 cuadraditos. Quiero montar con todas las piezas un cuadrado, sin que sobre ni falte nada».

Santiago: «¿Se puede? Y si se puede, ¿cuánto mide el lado?»

Sí, de lado $x+3$
Sí, de lado $x+9$
No se puede

Piénsalo y despliega para seguir

Vamos a colocar las piezas.

Santiago: «Pongo el cuadrado grande y reparto las 6 tiras a sus lados, las mismas a la derecha que debajo. ¿Cuántas tiras van a cada lado?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Tiras a cada lado: 3

Santiago: «Queda un hueco en la esquina, de 3 por 3. ¿Cuántos cuadraditos caben en el hueco?»

El cuadrado grande y las 6 tiras

Piénsalo antes de ver la respuesta

Cuadraditos: 9

Santiago: «Caben justo mis 9 cuadraditos, y sale un cuadrado de lado $x+3$ . Así que $x^2+6x+9$ es $(x+3)^2$ ».

Ver la respuesta de la predicción

Respuesta: Sí, de lado $x+3$

Si contestaste «Sí, de lado $x+3$ »:

Al principio dijiste que sí, de lado $x+3$ , y acertaste.

Si contestaste «Sí, de lado $x+9$ »:

Al principio dijiste $x+9$ . Así habría 9 tiras a cada lado, 18 en total, y en la esquina cabrían 81 cuadraditos.

Si contestaste «No se puede»:

Al principio dijiste que no se puede. Sí se puede: las 6 tiras se reparten, 3 a cada lado.

Hugo: «Pues con un cuadrado grande y 9 cuadraditos también sale un cuadrado de lado $x+3$ . O sea, $x^2+9$ es $(x+3)^2$ ».

Julia: «¿Tiene razón Hugo?»

Sí: $x^2$ es el cuadrado de $x$ , y 9 el de 3
No: faltan las 6 tiras, porque $(x+3)^2$ es $x^2+6x+9$
No: es $(x+9)^2$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: No: faltan las 6 tiras, porque $(x+3)^2$ es $x^2+6x+9$

Si $x$ vale 1, entonces $(x+3)^2$ vale 16, y $x^2+9$ vale 10. $x^2+9$ no es el cuadrado de nada.

Valentina: «Yo tengo $x^2+10x+16$ . Como 16 es $4\cdot4$ , es $(x+4)^2$ ».

Miguel: «¿Tiene razón Valentina?»

Sí: 16 es el cuadrado de 4
No: es $(x+5)^2$ , porque la mitad de 10 es 5
No: $(x+4)^2$ tiene $8x$ , porque el doble de 4 es 8

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: No: $(x+4)^2$ tiene $8x$ , porque el doble de 4 es 8

Con 10 tiras, el hueco es de 5 por 5, y harían falta 25 cuadraditos. No es un cuadrado: es $(x+2)(x+8)$ .

Santiago: «Entonces, ¿cuándo es un polinomio como $x^2+6x+9$ el cuadrado de una suma?»

Cuando el último número es el cuadrado de la mitad de las tiras
Cuando el último número es un cuadrado
Siempre que tenga cuadrado grande, tiras y cuadraditos

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Cuando el último número es el cuadrado de la mitad de las tiras

La mitad de 6 es 3, y $3^2$ es 9. En $x^2+10x+16$ , la mitad de 10 es 5, y $5^2$ es 25, no 16.

Las identidades notables son estas tres igualdades, que valen con cualquier número. En algunos libros se llaman igualdades notables y, en América, productos notables.

\begin{aligned} (a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2&=a^2-2ab+b^2\\ (a+b)(a-b)&=a^2-b^2 \end{aligned}

Cómo se reconoce cada una. Con tres términos, dos cuadrados y el doble producto, es el cuadrado de una suma si el doble producto va con «+», y el de una diferencia si va con «−». Con dos cuadrados restados, es una suma por diferencia.

Los dibujos, en sus lecciones: la suma, la diferencia y la suma por diferencia.

Factorizar es escribir un polinomio como una multiplicación, y con las identidades se hace al revés.

x^2-25=(x+5)(x-5)

Si no es ninguna, se dice. Por ejemplo, $x^2+9$ no es el cuadrado de nada, porque le faltan las tiras.

Antes, el factor común. En $2x^2-18$ , primero sale el 2. Después, lo de dentro es una diferencia de cuadrados.

\begin{aligned} 2x^2-18&=2(x^2-9)\\ &=2(x+3)(x-3) \end{aligned}

Julia: «Vamos a factorizar $x^2-81$ . Primero, ¿qué es?»

Un cuadrado de una diferencia, $x^2-2\cdot x\cdot9+9^2$
Una diferencia de cuadrados, $x^2-9^2$
Ninguna: no se factoriza

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Una diferencia de cuadrados, $x^2-9^2$

81 es $9^2$ , y una diferencia de cuadrados es una suma por diferencia.

Julia: « $x^2-81$ es una diferencia de cuadrados, $x^2-9^2$ . Factorízalo y escríbelo con las fichas».

Piénsalo antes de ver la respuesta

Operación: $( x + 9 ) ( x - 9 )$

Vega: «Vamos a factorizar $x^2-10x+25$ . Primero, ¿qué es?»

Una diferencia de cuadrados, $x^2-5^2$
Ninguna: no se factoriza
Un cuadrado de una diferencia, $x^2-2\cdot x\cdot5+5^2$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Un cuadrado de una diferencia, $x^2-2\cdot x\cdot5+5^2$

25 es $5^2$ , y $10x$ es el doble de $x\cdot5$ , con «−».

Vega: « $x^2-10x+25$ es un cuadrado de una diferencia, $x^2-2\cdot x\cdot5+5^2$ . Factorízalo y escríbelo con las fichas».

Piénsalo antes de ver la respuesta

Operación: $( x - 5 ) ^2$

Miguel: «¿Qué identidad notable es $x^2+4$ ?»

El cuadrado de $x+2$
Una suma por diferencia, $(x+2)(x-2)$
Ninguna: no tiene tiras, y los cuadrados no se restan

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Ninguna: no tiene tiras, y los cuadrados no se restan

$(x+2)^2$ es $x^2+4x+4$ , y $(x+2)(x-2)$ es $x^2-4$ . Ninguna da $x^2+4$ .

Hugo: « $x^2-25$ es $(x+5)(x-5)$ . ¿Por qué?»

Porque es una suma por diferencia: al multiplicar, $+5x$ y $-5x$ se anulan
Porque 25 es $5\cdot5$
Porque la $x$ vale 5

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Porque es una suma por diferencia: al multiplicar, $+5x$ y $-5x$ se anulan

$(x+5)(x-5)$ es $x^2-5x+5x-25$ , es decir, $x^2-25$ .

Santiago: «La respuesta es $(x+4)(x-4)$ , pero se me ha olvidado la pregunta. ¿Qué había que factorizar?»

$x^2+16$
$x^2-16$
$x^2-8x+16$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: $x^2-16$

Al multiplicar, $-4x$ y $+4x$ se anulan, y queda $x^2-16$ .

Lo que te llevas:

Hay tres identidades notables: el cuadrado de una suma, el de una diferencia y la suma por diferencia.
Factorizar es usarlas al revés, y $x^2-25$ es $(x+5)(x-5)$ .
$x^2+9$ no es ninguna.
Antes, saca factor común, y $2x^2-18$ es $2(x+3)(x-3)$ .

Para practicar: los ejercicios de identidades notables.