Cuadrado de una diferencia

Vega: «Quiero calcular $19^2$ de cabeza. 19 es $20-1$ , y $20^2$ es fácil, 400».

Vega: «Así que $19^2$ será 400 menos algo».

Vega: «¿Cuánto es $19^2$ ?»

359
361
381

Piénsalo y despliega para seguir

Vamos a dibujarlo.

Vega: «Dibujo un cuadrado de 20 por 20. Le quito una tira de 20 por 1 a la derecha, y otra abajo: lo que queda es el cuadrado de 19».

Vega: «¿Cuánto es 400 menos las dos tiras de 20?»

(no está a escala)

Piénsalo antes de ver la respuesta

$400-20-20$ = 360

Vega: «El cuadradito de la esquina estaba en las dos tiras, así que lo he quitado dos veces. Lo devuelvo una vez. ¿Cuánto es $19^2$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

$19^2$ = 361

Vega: «Así que $19^2$ es $400-20-20+1$ , es decir, 361. El cuadrado de 19 tiene 361 cuadraditos».

(no está a escala)

Ver la respuesta de la predicción

Respuesta: 361

Si contestaste «361»:

Al principio dijiste 361, y acertaste.

Si contestaste «359»:

Al principio dijiste 359. Así el cuadradito de la esquina se quita tres veces: con las dos tiras y otra más.

Si contestaste «381»:

Al principio dijiste 381, que es 400 menos 19. Así se quita una sola tira, y son dos.

Santiago: «Con la $x$ será fácil: $(x-3)^2$ es $x^2-9$ ».

Julia: «Prueba con un número. Si $x$ vale 10, ¿cuánto vale $(x-3)^2$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

$(x-3)^2$ = 49

Vega: «Y $x^2-9$ vale 91. A Santiago le faltan las dos tiras de $x$ por 3. Será $x^2-6x-9$ ».

Hugo: «Si $x$ vale 10, ¿cuánto vale $x^2-6x-9$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

$x^2-6x-9$ = 31

Hugo: «Te sale 31, y $(x-3)^2$ vale 49: no son lo mismo. ¿Qué le pasa a Vega?»

Ha quitado dos veces el cuadradito de la esquina: el 9 va con «+»
Nada: el 9 va con «−», porque en $x-3$ hay un «−»
Le falta otra tira: es $x^2-9x-9$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Ha quitado dos veces el cuadradito de la esquina: el 9 va con «+»

Como con $19^2$ , las dos tiras se llevan dos veces el cuadradito, y se devuelve una. Con $x^2-6x+9$ , si $x$ vale 10, sale $100-60+9$ , que es 49.

Vega: «Entonces, ¿qué signo lleva cada término de $(x-3)^2$ , desarrollado?»

Todos «−», menos el primero
«+» los dos cuadrados, y «−» el del medio
Todos «+»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: «+» los dos cuadrados, y «−» el del medio

$x^2-6x+9$ . Las tiras se quitan, y el cuadradito se devuelve.

El cuadrado de una diferencia es el cuadrado del primero, menos el doble del primero multiplicado por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Con la $x$ , $(x-3)^2$ es $x^2-6x+9$ . Lo único que cambia respecto al cuadrado de una suma es el signo del medio.

El último término lleva «+». En el dibujo, el cuadradito se quita dos veces y se devuelve una. Con los enteros, $(-3)\cdot(-3)$ es 9, positivo.

\begin{aligned} (x-3)^2&=x^2-3x-3x+9\\ &=x^2-6x+9 \end{aligned}

Sirve para calcular de cabeza el cuadrado de un número que está justo debajo de uno redondo. Con uno que ya sabes, se ve que sale bien:

9^2=(10-1)^2=100-20+1=81

Miguel: «Vamos a desarrollar $(x-5)^2$ . Primero, ¿a qué es igual?»

$x^2-5^2$
$x^2-2\cdot x\cdot5+5^2$
$x^2-2\cdot x\cdot5-5^2$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: $x^2-2\cdot x\cdot5+5^2$

Las dos tiras se quitan, y el cuadradito de la esquina, que se quita dos veces, se devuelve: va con «+».

Miguel: « $(x-5)^2$ es $x^2-2\cdot x\cdot5+5^2$ . Escríbelo con las fichas, sin paréntesis y juntando lo que se pueda».

Piénsalo antes de ver la respuesta

Operación: $x ^2 - 10 x + 25$

Valentina: «Vamos a calcular $8^2$ con el truco. 8 es $10-2$ . ¿A qué es igual $(10-2)^2$ ?»

$10^2-2\cdot10\cdot2+2^2$
$10^2-2\cdot10\cdot2-2^2$
$10^2-2^2$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: $10^2-2\cdot10\cdot2+2^2$

Al cuadrado de 10 se le quitan dos tiras de 10 por 2, y la esquina, que se quita dos veces, se devuelve.

Valentina: « $8^2$ es $(10-2)^2$ , es decir, $10^2-2\cdot10\cdot2+2^2$ . Calcúlalo, y comprueba que sale lo que ya sabes».

Piénsalo antes de ver la respuesta

$(10-2)^2$ = 64

Julia: « $(x-3)^2$ es $x^2-6x+9$ . ¿Por qué el 9 va con «+», si en $x-3$ hay un «−»?»

Porque 9 es positivo
Porque al restar, todos los signos cambian
Porque el cuadradito se quita dos veces, con las dos tiras, y se devuelve una

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Porque el cuadradito se quita dos veces, con las dos tiras, y se devuelve una

Y con los enteros, $(-3)\cdot(-3)$ es 9, positivo.

Hugo: «La respuesta es $x^2-8x+16$ , pero se me ha olvidado la pregunta. ¿Qué había que desarrollar?»

$(x-4)^2$
$(x+4)^2$
$(x-8)^2$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: $(x-4)^2$

El cuadrado de 4 es 16, y las dos tiras de $x$ por 4 se quitan: $-8x$ .

Lo que te llevas:

El cuadrado de una diferencia es el cuadrado del primero, menos el doble del primero multiplicado por el segundo, más el cuadrado del segundo.
$(x-3)^2$ es $x^2-6x+9$ , con «+» al final.
Sirve para calcular de cabeza, y $19^2$ es $400-40+1$ .

Para la próxima: ¿cuánto es $19\cdot21$ ?