Cuadrado de una suma (binomio al cuadrado)

¿Cuánto es 21²?

Haz la lección

Valentina: «Me sé un truco para elevar al cuadrado de cabeza. Mira, $21^2$ en un segundo».

Miguel: «Eso es fácil. 21 es $20+1$ , así que $21^2$ es $20^2$ más $1^2$ ».

Miguel: « $20^2$ es 400, y $1^2$ es 1. Así que $21^2$ es 401».

Valentina: «¿Cuánto es $21^2$ ?»

401, como dice Miguel
441
421

Piénsalo y despliega para seguir

Vamos a dibujarlo.

Valentina: « $21^2$ es el área de un cuadrado de lado 21. Parto cada lado en $20+1$ ».

Valentina: «¿Cuánto mide el área del trozo de 20 por 1, el amarillo de abajo?»

(no está a escala)

Piénsalo antes de ver la respuesta

Área del trozo de 20 por 1: 20

Valentina: «Hay un cuadrado de 400, dos trozos de 20 y uno de 1. Juntos son 441, así que $21^2$ es 441».

(no está a escala)

Ver la respuesta de la predicción

Respuesta: 441

Si contestaste «441»:

Al principio dijiste 441, y acertaste.

Si contestaste «401, como dice Miguel»:

Al principio dijiste 401, como Miguel. Pero así solo se cuentan el cuadrado de 400 y el de 1: faltan los dos trozos de 20.

Si contestaste «421»:

Al principio dijiste 421. Así se cuenta un solo trozo de 20, y hay dos: uno arriba a la derecha y otro abajo a la izquierda.

Hugo: «Con la $x$ será como decía Miguel: $(x+3)^2$ es $x^2$ más $3^2$ , es decir, $x^2+9$ ».

Julia: «Prueba con un número. Si $x$ vale 1, ¿cuánto vale $(x+3)^2$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

$(x+3)^2$ = 16

Julia: «Y $x^2+9$ vale $1+9$ , que es 10. ¿Tiene razón Hugo?»

No: si $x$ vale 1, no valen lo mismo, así que le falta algo
Sí: el cuadrado de $x$ es $x^2$ , y el de 3 es 9
Sí, porque si $x$ vale 0, los dos valen 9

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: No: si $x$ vale 1, no valen lo mismo, así que le falta algo

Si $x$ vale 1, entonces $(x+3)^2$ vale 16, y $x^2+9$ vale 10. Faltan 6.

Julia: «Le falta un trozo, como a Miguel. Será $x^2+3x+9$ ».

Valentina: «Si $x$ vale 1, ¿cuánto vale $x^2+3x+9$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

$x^2+3x+9$ = 13

Hugo: «13 tampoco es 16. Lo monto con las piezas: un cuadrado de lado $x+3$ ».

Hugo: «¿Cuántas tiras (las amarillas) hacen falta?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Tiras: 6

Hugo: «Hay un cuadrado grande, 6 tiras y 9 cuadraditos. Escribe con las fichas el área, $(x+3)^2$ , sin paréntesis».

Piénsalo antes de ver la respuesta

Operación: $x ^2 + 6 x + 9$

Si $x$ vale 1, vale $1+6+9$ , que es 16, lo mismo que $(x+3)^2$ .

Valentina: «Entonces, ¿qué sale siempre al elevar al cuadrado una suma de dos términos, como $(20+1)^2$ o $(x+3)^2$ ?»

Los cuadrados de los dos
El cuadrado de cada uno y, además, dos veces el primero multiplicado por el segundo
El doble de cada uno

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: El cuadrado de cada uno y, además, dos veces el primero multiplicado por el segundo

En $(20+1)^2$ son 400, 1 y dos veces $20\cdot1$ . En $(x+3)^2$ son $x^2$ , 9 y dos veces $3x$ .

El cuadrado de una suma (o binomio al cuadrado) es el cuadrado del primero, más el doble del primero multiplicado por el segundo, más el cuadrado del segundo.

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

Con la $x$ , $(x+3)^2$ es $x^2+6x+9$ , y no $x^2+9$ .

De dónde sale. Euclides lo demostró hace unos 2300 años con este dibujo, sin fórmulas. El cuadrado de lado $a+b$ tiene dos cuadrados, $a^2$ y $b^2$ , y dos rectángulos iguales de área $ab$ : por eso sale $2ab$ .

Es una identidad notable: una igualdad que vale con cualquier número, y que se usa tanto que tiene nombre. Sirve, por ejemplo, para calcular de cabeza. Con uno que ya sabes, se ve que sale bien:

11^2=(10+1)^2=100+20+1=121

Santiago: «El suelo de la caseta de Coco es un cuadrado de lado $x+4$ . Antes de calcular su área, ¿a qué es igual $(x+4)^2$ ?»

$x^2+2\cdot x\cdot4+4^2$
$x^2+4^2$
$x^2+x\cdot4+4^2$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: $x^2+2\cdot x\cdot4+4^2$

El cuadrado del primero, el doble del primero multiplicado por el segundo y el cuadrado del segundo.

Santiago: «Entonces el área de la caseta es $x^2+2\cdot x\cdot4+4^2$ . Escríbela con las fichas, sin paréntesis y juntando lo que se pueda».

Piénsalo antes de ver la respuesta

Operación: $x ^2 + 8 x + 16$

Vega: «Vamos a calcular $12^2$ con el truco de Valentina. 12 es $10+2$ . ¿A qué es igual $(10+2)^2$ ?»

$10^2+2^2$
$10^2+10\cdot2+2^2$
$10^2+2\cdot10\cdot2+2^2$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: $10^2+2\cdot10\cdot2+2^2$

El cuadrado de 10, los dos rectángulos de 10 por 2 y el cuadrado de 2.

Vega: « $12^2$ es $(10+2)^2$ , es decir, $10^2+2\cdot10\cdot2+2^2$ . Calcúlalo, y comprueba que sale lo que ya sabes».

Piénsalo antes de ver la respuesta

$(10+2)^2$ = 144

Vega: « $(x+3)^2$ es $x^2+6x+9$ . ¿Por qué hay un 6 delante de la $x$ ?»

Porque 3 más 3 son 6
Porque $x$ vale 6
Porque hay dos rectángulos de $x$ por 3, y cada uno es $3x$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Porque hay dos rectángulos de $x$ por 3, y cada uno es $3x$

Es el doble del primero multiplicado por el segundo, $2\cdot x\cdot3$ , es decir, $6x$ .

Miguel: «La respuesta es $x^2+10x+25$ , pero se me ha olvidado la pregunta. ¿Qué había que calcular?»

$(x+10)^2$
$(x+5)^2$
$(x+5)(x+2)$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: $(x+5)^2$

El cuadrado de 5 es 25, y los dos rectángulos son $5x$ y $5x$ , es decir, $10x$ .

Lo que te llevas:

El cuadrado de una suma es el cuadrado del primero, más el doble del primero multiplicado por el segundo, más el cuadrado del segundo.
$(x+3)^2$ es $x^2+6x+9$ , y no $x^2+9$ .
Sirve para calcular de cabeza, y $21^2$ es $400+40+1$ .

Para la próxima: ¿cuánto es $19^2$ ?

¿Has visto un error? Avísanos