Suma por diferencia: diferencia de cuadrados

Julia: «Apuesto a que nadie calcula $19\cdot21$ de cabeza en diez segundos».

Hugo: «Yo sí. 19 es $20-1$ , y 21 es $20+1$ . Así que está muy cerca de $20\cdot20$ ».

Julia: «¿Cuánto es $19\cdot21$ ?»

400, como $20\cdot20$
399
401

Piénsalo y despliega para seguir

Vamos a dibujarlo.

Hugo: « $19\cdot21$ es el área de un rectángulo de 21 por 19. Es un cuadrado de 19 por 19 y, a la derecha, dos tiras de 1 por 19, las amarillas».

Hugo: «Corto la tira amarilla de más a la derecha y la pongo tumbada, abajo».

(no está a escala)

Hugo: «Ahora es casi un cuadrado de 20 por 20, que es 400. Pero la tira mide 19, y en la esquina falta un cuadradito: ahí no hay nada».

Hugo: «¿Cuánto es $19\cdot21$ ?»

(no está a escala)

Piénsalo antes de ver la respuesta

$19\cdot21$ = 399

Hugo: «Así que $19\cdot21$ es $20^2-1^2$ , es decir, $400-1$ , que es 399».

(no está a escala)

Ver la respuesta de la predicción

Respuesta: 399

Si contestaste «399»:

Al principio dijiste 399, y acertaste.

Si contestaste «400, como $20\cdot20$ »:

Al principio dijiste 400. Está muy cerca, pero al recolocar la tira falta el cuadradito de la esquina.

Si contestaste «401»:

Al principio dijiste 401. Al recolocar la tira no sobra un cuadradito: falta uno.

Miguel: «Con la $x$ : $(x+5)(x-5)$ es $x^2$ y $5^2$ , es decir, $x^2+25$ ».

Valentina: «Prueba con un número. Si $x$ vale 6, ¿cuánto vale $(x+5)(x-5)$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

$(x+5)(x-5)$ = 11

Julia: «Y $x^2+25$ vale 61. Será como un cuadrado, con las tiras: $x^2-10x-25$ ».

Vega: «¿Tiene razón Julia?»

Sí: como en $(x-5)^2$ , hay dos tiras
No: una tira es $-5x$ y la otra $+5x$ , y se anulan
No: es $x^2+10x-25$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: No: una tira es $-5x$ y la otra $+5x$ , y se anulan

$x\cdot(-5)$ es $-5x$ , y $5\cdot x$ es $5x$ : juntas, 0. Queda $x^2-25$ , que con $x=6$ vale 11.

Valentina: «Multiplica cada término por cada término. Escribe con las fichas $(x+5)(x-5)$ , desarrollado».

Piénsalo antes de ver la respuesta

Operación: $x ^2 - 25$

Julia: «Entonces, ¿qué queda siempre al multiplicar una suma por su diferencia, como $(20+1)(20-1)$ o $(x+5)(x-5)$ ?»

El cuadrado del primero
Los dos cuadrados sumados
El cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: El cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo

$20^2-1^2$ es 399, y $(x+5)(x-5)$ es $x^2-25$ .

Una suma por su diferencia es el cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo. Por eso se llama también diferencia de cuadrados.

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Con la $x$ , $(x+5)(x-5)$ es $x^2-25$ , porque los dos rectángulos, $-5x$ y $+5x$ , se anulan.

Sirve para calcular de cabeza dos números que están a la misma distancia de uno redondo, uno por encima y otro por debajo.

9\cdot11=(10-1)(10+1)=100-1=99

Santiago: «Vamos a desarrollar $(x+8)(x-8)$ . Primero, ¿a qué es igual?»

$x^2+8^2$
$x^2-2\cdot x\cdot8-8^2$
$x^2-8^2$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: $x^2-8^2$

El cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo: los rectángulos se anulan.

Santiago: « $(x+8)(x-8)$ es $x^2-8^2$ . Escríbelo con las fichas, sin paréntesis ni potencias de números».

Piénsalo antes de ver la respuesta

Operación: $x ^2 - 64$

Vega: «Vamos a calcular $8\cdot12$ con el truco. 8 es $10-2$ , y 12 es $10+2$ . ¿A qué es igual $(10-2)(10+2)$ ?»

$10^2-2^2$
$10^2+2^2$
$10^2-2\cdot10\cdot2+2^2$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: $10^2-2^2$

El cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.

Vega: « $8\cdot12$ es $(10-2)(10+2)$ , es decir, $10^2-2^2$ . Calcúlalo de cabeza».

Piénsalo antes de ver la respuesta

$8\cdot12$ = 96

Miguel: « $19\cdot21$ es 399, y no 400. ¿Por qué?»

Porque $19\cdot21$ es impar
Porque es $20^2-1^2$ : al cuadrado de 20 le falta el cuadradito
Porque 19 es menor que 20

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Porque es $20^2-1^2$ : al cuadrado de 20 le falta el cuadradito

$(20-1)(20+1)$ es $20^2-1^2$ , es decir, $400-1$ .

Hugo: «La respuesta es $x^2-49$ , pero se me ha olvidado la pregunta. ¿Qué había que desarrollar?»

$(x+7)(x-7)$
$(x-7)^2$
$(x+7)^2$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: $(x+7)(x-7)$

El cuadrado de $x$ menos el cuadrado de 7, que es 49.

Lo que te llevas:

Una suma por su diferencia es el cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.
$(x+5)(x-5)$ es $x^2-25$ , porque $-5x$ y $+5x$ se anulan.
Sirve para calcular de cabeza, y $19\cdot21$ es $400-1$ .

Para practicar: el juego «¿Verdad o mentira?».