Tipos de sistemas de ecuaciones y sus soluciones
¿Tiene solución el acertijo?
Haz la lección
Hugo: «Os pongo un acertijo. Pienso dos números. Suman 10, y el doble del primero más el doble del segundo es 30».
Hugo: «¿Qué números son?»
- El 5 y el 10
- No hay ninguno que cumpla las dos pistas
- Cualquier pareja de números que sume 10
Piénsalo y despliega para seguir
Vamos a mirar los dobles.
Valentina: «Si dos números suman 10, ¿cuánto suman sus dobles?»
Piénsalo antes de ver la respuesta
- Lo que suman los dobles: 20
Valentina: «Si dos números suman 10, sus dobles suman 20, y nunca 30. Ninguna pareja cumple las dos pistas de Hugo».
Ver la respuesta de la predicción
Respuesta: No hay ninguno que cumpla las dos pistas
Si contestaste «No hay ninguno que cumpla las dos pistas»:
Al principio dijiste que no había ninguno, y acertaste: la segunda pista pide 30, y si suman 10, sus dobles suman 20.
Si contestaste «El 5 y el 10»:
Al principio dijiste el 5 y el 10. Sus dobles sí suman 30, pero ellos suman 15, y no 10.
Si contestaste «Cualquier pareja de números que sume 10»:
Al principio dijiste que valía cualquier pareja que sumara 10. Sus dobles suman 20, y la segunda pista pide 30: no vale ninguna.
Julia: «Yo creo que son el 5 y el 10, porque es 30».
Miguel: «¿Tiene razón Julia?»
- Sí, porque cumple la segunda pista
- No: cumple la segunda pista, pero 5 y 10 suman 15
- No, porque el 10 es demasiado grande
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta: No: cumple la segunda pista, pero 5 y 10 suman 15
Cumple una pista, pero no las dos.
Valentina: «Con letras, el acertijo es este sistema».
Valentina: «Multiplico la primera por 2, y queda . Al restarle la segunda, se va todo, y sale algo imposible».
Vega: «Si cada ecuación es una recta, ¿cómo serán las rectas de este sistema?»
- Se cortan en un punto
- Son paralelas: no se cortan nunca
- Son la misma recta
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta: Son paralelas: no se cortan nunca
No hay ningún punto que esté en las dos.
Vega: «Son paralelas. La segunda dice que vale 15, y la primera dice que vale 10: van una al lado de la otra, y no se cortan nunca».
Valentina: «Ahora el mío. Pienso dos números. Suman 10, y sus dobles suman 20».
Valentina: «Si multiplico la primera por 2 y se la resto a la segunda, sale ».
Valentina: «Como sale , los dos números son el 0 y el 0».
Santiago: «¿Tiene razón Valentina?»
- No, porque entonces no tiene solución
- Sí, porque sale
- No: es verdad siempre, y vale cualquier pareja que sume 10
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta: No: es verdad siempre, y vale cualquier pareja que sume 10
Si dos números suman 10, sus dobles suman 20, sean los que sean.
Valentina: «La segunda ecuación es la primera multiplicada por 2: dicen lo mismo. En el dibujo, las dos son la misma recta, y todos sus puntos son soluciones».
Hugo: «Entonces, si al resolver un sistema sale , ¿qué pasa?»
- Que no tiene solución: las rectas son paralelas
- Que te has equivocado en las cuentas
- Que la vale 0
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta: Que no tiene solución: las rectas son paralelas
es falso con cualquier pareja de números.
Un sistema puede tener una solución, ninguna o infinitas. Con una, las rectas se cortan en un punto.
Sin ninguna, al resolverlo sale algo imposible, como , y las rectas son paralelas. Con infinitas, sale algo que es verdad siempre, como , y las dos ecuaciones son la misma recta.
Sus nombres: si tiene una solución, el sistema es compatible determinado; si tiene infinitas, es compatible indeterminado; y si no tiene ninguna, es incompatible.
Vega: «¿Cuántas soluciones tiene este sistema?»
- Ninguna, porque al resolverlo sale
- Infinitas, porque la segunda es la primera multiplicada por 2
- Una, porque tiene dos ecuaciones
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta: Ninguna, porque al resolverlo sale
La primera dice que vale 4, y la segunda dice que vale 5. Las rectas son paralelas.
Hugo: «Este sistema sí tiene una sola solución. ¿Cuánto valen e ?»
Piénsalo antes de ver la respuesta
Solución: la y vale 3 y la x vale 5.
Valentina: «Este sistema tiene infinitas soluciones. ¿Por qué?»
- Porque los números de la izquierda de la segunda son el triple
- Porque tiene dos incógnitas
- Porque la segunda es la primera multiplicada por 3: es la misma recta
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta: Porque la segunda es la primera multiplicada por 3: es la misma recta
Las dos dicen lo mismo, y cualquier pareja que sume 5 cumple las dos.
Julia: «La respuesta es que tiene infinitas soluciones, pero se me ha olvidado el sistema. ¿Cuál era?»
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta:
La segunda es la primera multiplicada por 3: es la misma recta.
Lo que te llevas:
- Un sistema puede tener una solución, ninguna o infinitas.
- Si sale algo imposible, como , no tiene ninguna: las rectas son paralelas.
- Si sale algo que es verdad siempre, como , tiene infinitas: es la misma recta.
- no dice que las incógnitas valgan 0.
Para la próxima: ¿cuántos conejos hay en una granja?