Qué es un sistema de ecuaciones y su solución

¿Cuántos cromos tiene cada uno?

Julia: «Hugo y yo hemos juntado los cromos repetidos para cambiarlos. Entre los dos tenemos 10».

Valentina: «¿Y cuántos tiene cada uno?»

Hugo: «Con eso no lo sabes: puede que Julia tenga 6 y yo tenga 4, o que ella tenga 9 y yo tenga 1. Te doy otra pista: Julia tiene 4 cromos más que yo».

Vega: «Con las dos pistas a la vez, ¿cuántas respuestas quedan?»

Una sola
Dos
Ninguna

Piénsalo y despliega para seguir

Vamos a mirarlo en una tabla.

Valentina: «Con la primera pista, entre los dos tienen 10. Si Julia tiene 8 cromos, ¿cuántos tiene Hugo?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Cromos de Hugo: 2

Valentina: «Ahora, la segunda pista: Julia tiene 4 más que Hugo. Para verlo, añado una fila, la de los cromos que Julia tiene de más».

Valentina: «¿Qué pareja de la tabla cumple también la segunda pista?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Cromos de Julia: 7
Cromos de Hugo: 3

Valentina: «Solo una pareja cumple las dos pistas a la vez: Julia tiene 7 cromos y Hugo tiene 3».

Ver la respuesta de la predicción

Respuesta: Una sola

Si contestaste «Una sola»:

Al principio dijiste que quedaba una sola respuesta, y acertaste. La primera pista deja muchas parejas, y la segunda se queda con una.

Si contestaste «Dos»:

Al principio dijiste que quedaban dos. Solo queda una: cada vez que Julia tiene uno más, Hugo tiene uno menos, y lo que le saca Julia cambia de 2 en 2. Solo una vez es 4.

Si contestaste «Ninguna»:

Al principio dijiste que no quedaba ninguna. Queda una: con 7 y 3, entre los dos tienen 10, y Julia tiene 4 más.

Hugo: «También sale sin probar parejas. Si a Julia le quitas los 4 cromos de más, los dos tenemos lo mismo».

Hugo: «¿Cuántos cromos tengo yo?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Cromos de Hugo: 3

Julia: «Las dos pistas, con palabras, quedan así».

\begin{aligned} \text{los de Julia}+\text{los de Hugo}&=10\\ \text{los de Julia}-\text{los de Hugo}&=4 \end{aligned}

Julia: «Con la $j$ de Julia y la $h$ de Hugo: si $j$ son mis cromos y $h$ son los de Hugo, son dos ecuaciones que se tienen que cumplir a la vez».

\begin{cases} j+h=10 \\ j-h=4 \end{cases}

Hugo: «Antes de hacer la tabla, yo pensaba que Julia tenía 6 cromos y que yo tenía 4. Porque $6+4$ es 10».

Santiago: «¿Tenía razón Hugo?»

Sí, porque entre los dos tienen 10
No: cumple la primera pista, pero Julia solo tendría 2 más que Hugo
No, porque Hugo tiene que tener más que Julia

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: No: cumple la primera pista, pero Julia solo tendría 2 más que Hugo

Con 6 y 4 se cumple $j+h=10$ , pero no $j-h=4$ . Tienen que cumplirse las dos.

Valentina: «Pues ya está: la solución del sistema es 7».

Miguel: «¿Está completa la respuesta de Valentina?»

No: 7 son los cromos de Julia, y falta decir los de Hugo
Sí, porque 7 cumple las dos ecuaciones
No, porque la solución es 3

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: No: 7 son los cromos de Julia, y falta decir los de Hugo

Hay dos incógnitas, así que la solución son dos números: $j$ vale 7 y $h$ vale 3.

Valentina: «Entonces, ¿cuándo es una pareja de números la solución de un sistema?»

Cuando cumple la primera ecuación
Cuando cumple las dos ecuaciones
Cuando se sabe lo que vale una de las dos incógnitas

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Cuando cumple las dos ecuaciones

Por eso se comprueba siempre en las dos.

Un sistema de ecuaciones son varias ecuaciones que se tienen que cumplir a la vez. Uno de dos ecuaciones con dos incógnitas se escribe con una llave, una ecuación encima de otra.

\begin{cases} j+h=10 \\ j-h=4 \end{cases}

Las incógnitas pueden llevar cualquier letra: mejor una que recuerde qué son, como la $j$ de Julia.

La solución de un sistema es la pareja de números que cumple todas sus ecuaciones. En el de los cromos, $j$ vale 7 y $h$ vale 3.

Se comprueba en las dos. Si $j$ vale 7 y $h$ vale 3, entonces $j+h$ vale 10, y $j-h$ vale 4.

Miguel: «En este sistema, ¿es la solución la pareja en la que $x$ vale 5 e $y$ vale 2?»

\begin{cases} x+y=7 \\ x-y=1 \end{cases}

Sí, porque $5+2$ es 7
No, porque $5+2$ no es 7
No, porque $5-2$ es 3, y no 1

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: No, porque $5-2$ es 3, y no 1

Cumple la primera, pero no la segunda, así que no es la solución.

Santiago: «Entre mi hermana y yo sumamos 20 años, y yo tengo 4 más que ella. ¿Cuántos años tenemos cada uno?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Años de Santiago: 12
Años de su hermana: 8

Vega: «En este sistema, la solución es la pareja en la que $x$ vale 7 e $y$ vale 3. ¿Por qué no lo es la pareja en la que $x$ vale 6 e $y$ vale 4?»

\begin{cases} x+y=10 \\ x-y=4 \end{cases}

Porque $6-4$ es 2, y no 4
Porque $6+4$ no es 10
Porque en la solución no puede haber un 6

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Porque $6-4$ es 2, y no 4

Cumple la primera ecuación, pero no la segunda.

Julia: «La solución es la pareja en la que $x$ vale 5 e $y$ vale 2, pero se me ha olvidado el sistema. ¿Cuál era?»

$\begin{cases} x+y=7 \\ x-y=1 \end{cases}$
$\begin{cases} x+y=3 \\ x-y=7 \end{cases}$
$\begin{cases} x+y=7 \\ x-y=3 \end{cases}$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: $\begin{cases} x+y=7 \\ x-y=3 \end{cases}$

Si $x$ vale 5 e $y$ vale 2, entonces $x+y$ vale 7, y $x-y$ vale 3.

Lo que te llevas:

Un sistema son dos ecuaciones que se cumplen a la vez.
Su solución es la pareja que cumple las dos (en los cromos, $j$ vale 7 y $h$ vale 3).
Comprueba siempre la solución en las dos ecuaciones.

Para la próxima: ¿cómo se ve la solución en un dibujo?

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