Problemas de sistemas de ecuaciones
¿Cuántos conejos hay en la granja?
Haz la lección
Santiago: «En la granja de mis abuelos hay gallinas y conejos. He contado 10 cabezas y 32 patas».
Valentina: «Cada gallina tiene 2 patas, y cada conejo tiene 4».
Santiago: «¿Cuántos conejos hay?»
- 6
- 8
- 4
Piénsalo y despliega para seguir
Vamos a pensarlo sin letras.
Valentina: «Imagina que los 10 animales fueran gallinas. ¿Cuántas patas habría?»
Piénsalo antes de ver la respuesta
- Patas: 20
Valentina: «Pero Santiago ha contado 32. ¿Cuántas patas faltan?»
Piénsalo antes de ver la respuesta
- Patas que faltan: 12
Valentina: «Cada vez que cambio una gallina por un conejo, hay 2 patas más. ¿Cuántos conejos hay?»
Piénsalo antes de ver la respuesta
- Conejos: 6
Valentina: «Hay 6 conejos y 4 gallinas: son 10 cabezas, y es 32 patas».
Ver la respuesta de la predicción
Respuesta: 6
Si contestaste «6»:
Al principio dijiste 6, y acertaste: con 6 conejos y 4 gallinas salen las 10 cabezas y las 32 patas.
Si contestaste «8»:
Al principio dijiste 8. Con 8 conejos y 2 gallinas habría 36 patas, y no 32.
Si contestaste «4»:
Al principio dijiste 4. Hay 4 gallinas, pero conejos hay 6: con 4 conejos y 6 gallinas habría 28 patas.
Hugo: «Yo había pensado que eran 8 conejos, porque 32 entre 4 son 8».
Julia: «¿Qué le falla a Hugo?»
- Que 8 conejos tienen 32 patas, pero solo 8 cabezas, y no 10
- Nada, porque 32 entre 4 son 8
- Que las gallinas tienen 4 patas
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta: Que 8 conejos tienen 32 patas, pero solo 8 cabezas, y no 10
Ha mirado las patas y se ha olvidado de las cabezas: tiene que cumplir los dos datos.
Valentina: «Ahora, con un sistema, con la de gallinas y la de conejos. Si son las gallinas y son los conejos, hay una ecuación por cada dato».
Valentina: «De la primera, . Lo sustituyo en la segunda, y queda . ¿Cuánto vale ?»
Piénsalo antes de ver la respuesta
Solución: la c vale 6.
Vega: «Fui al cine con mi familia. La entrada de adulto cuesta 8 €, y la de niño cuesta 5 €. Compré 7 entradas y pagué 44 €».
Julia: «Si son las entradas de adulto y son las de niño, yo pongo este sistema. Me sale que vale 4 y vale 3».
Miguel: «¿Está bien el sistema de Julia?»
- Sí, porque el 4 y el 3 cumplen las dos ecuaciones
- No: ha cruzado los precios, y la segunda es
- No: la primera tiene que ser
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta: No: ha cruzado los precios, y la segunda es
Las de adulto, la , cuestan 8 €, y las de niño, la , cuestan 5 €.
Vega: «Con los precios bien puestos, ¿cuántas entradas de cada clase compré?»
Piénsalo antes de ver la respuesta
Solución: la a vale 3 y la n vale 4.
Julia: «Entonces, ¿qué haces siempre al acabar un problema?»
- Comprobar la solución en las ecuaciones
- Comprobar un solo dato
- Comprobar la solución en el enunciado, con todos sus datos
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta: Comprobar la solución en el enunciado, con todos sus datos
Así se ve si el sistema está bien planteado y bien resuelto.
Para resolver un problema con un sistema, hay cuatro pasos. Primero, di qué es cada incógnita, con una letra que lo recuerde, como la de las gallinas. Después, escribe una ecuación por cada dato. Luego, resuelve el sistema con el método que mejor venga. Y al final, comprueba la solución en el enunciado, no solo en las ecuaciones.
La sustitución conviene si una incógnita no tiene número delante. La igualación conviene si las dos ecuaciones dicen cuánto vale la misma incógnita. La reducción conviene si una incógnita tiene lo mismo o lo contrario en las dos.
Hugo: «En el aparcamiento hay coches y motos. Cuento 12 vehículos y 40 ruedas. Si son los coches y son las motos, ¿qué sistema lo dice?»
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta:
Una ecuación por cada dato: los vehículos y las ruedas, con 4 por coche y 2 por moto.
Vega: «2 cuadernos y 3 bolígrafos cuestan 9 €, y uno de cada cuesta 4 €. Si un cuaderno cuesta euros y un bolígrafo cuesta euros, ¿qué sistema es?»
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta:
Una ecuación por cada compra: 2 cuadernos y 3 bolígrafos cuestan 9 €, y uno de cada cuesta 4 €.
Vega: «Resuélvelo. ¿Cuánto cuesta cada cosa?»
Piénsalo antes de ver la respuesta
Solución: la b vale 1 y la c vale 3.
Santiago: «En una granja hay gallinas y conejos, con 10 cabezas y 32 patas. Hay 6 conejos. ¿Por qué no 8?»
- Porque 32 entre 4 no da exacto
- Porque con 8 conejos y 2 gallinas habría 36 patas, y no 32
- Porque tiene que haber más gallinas que conejos
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta: Porque con 8 conejos y 2 gallinas habría 36 patas, y no 32
Con 10 cabezas, 8 conejos van con 2 gallinas, y salen demasiadas patas.
Julia: «En una granja hay gallinas y conejos, con 10 cabezas y 32 patas. La respuesta es 6, pero se me ha olvidado la pregunta. ¿Cuál era?»
- ¿Cuántas gallinas hay?
- ¿Cuántas patas más tienen los conejos que las gallinas?
- ¿Cuántos conejos hay?
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta: ¿Cuántos conejos hay?
Con 6 conejos y 4 gallinas hay 10 cabezas y 32 patas.
Lo que te llevas:
- Di qué es cada incógnita, con una letra que lo recuerde (la de las gallinas), y escribe una ecuación por dato.
- Resuelve el sistema con el método que mejor venga.
- Comprueba la solución en el enunciado, no solo en las ecuaciones.
Para la próxima: practica con los problemas del taller.