Método gráfico de sistemas de ecuaciones
¿Qué pastelería sale más barata?
Haz la lección
Vega: «Voy a encargar pasteles para mi cumpleaños, y he encontrado dos pastelerías».
Vega: «La A cobra 4 € de envío y 1 € por cada pastel. La B no cobra el envío, pero cada pastel cuesta 2 €».
Vega: «¿Qué pastelería me sale más barata?»
- La A
- La B
- Depende de cuántos pasteles encargues
Piénsalo y despliega para seguir
Vamos a hacer cuentas.
Hugo: «Probemos con 2 pasteles. ¿Cuánto cuestan en la A?»
Piénsalo antes de ver la respuesta
- Euros en la A: 6
Hugo: «¿Y cuánto cuestan los 2 pasteles en la B?»
Piénsalo antes de ver la respuesta
- Euros en la B: 4
Hugo: «Con 2 pasteles es más barata la B. ¿Y con 6? ¿Cuánto cuestan en cada pastelería?»
Piénsalo antes de ver la respuesta
- Euros en la A: 10
- Euros en la B: 12
Hugo: «Con 2 pasteles es más barata la B, y con 6 lo es la A».
Ver la respuesta de la predicción
Respuesta: Depende de cuántos pasteles encargues
Si contestaste «Depende de cuántos pasteles encargues»:
Al principio dijiste que dependía de cuántos pasteles encargara Vega, y acertaste: con 2 es más barata la B, y con 6 lo es la A.
Si contestaste «La A»:
Al principio dijiste que la A salía más barata. Con 6 pasteles, sí: 10 € frente a 12 €. Pero con 2 pasteles es más cara, por el envío: 6 € frente a 4 €.
Si contestaste «La B»:
Al principio dijiste que la B salía más barata. Con 2 pasteles, sí: 4 € frente a 6 €. Pero con 6 pasteles es más cara: 12 € frente a 10 €.
Julia: «En la A se pagan 4 € y además 1 € por cada pastel. Con palabras, queda así».
Julia: «Con la de pasteles y la de euros: si son los pasteles y es el precio en euros, la A es , y la B es . Cada una tiene su recta».
Julia: «Ya he dibujado la recta de la A. Dibuja tú la de la B, : marca dos de sus puntos».
Piénsalo antes de ver la respuesta
Por ejemplo: los puntos (0, 0) y (8, 16), que son soluciones de . La recta pasa por los dos.
Los dos puntos cumplen , y la recta de la B pasa por ellos.
Julia: «Las dos rectas se cortan. ¿En qué punto? Márcalo».
Piénsalo antes de ver la respuesta
- Pasteles: 4
- Euros: 8
Santiago: «Se cortan en el . Así que las dos cuestan lo mismo con 8 pasteles».
Vega: «¿Tiene razón Santiago?»
- Sí, porque el 8 está en el punto de corte
- No: con 4 pasteles las dos cuestan 8 €
- No: cuestan lo mismo con 12 pasteles, que es
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta: No: con 4 pasteles las dos cuestan 8 €
El primer número son los pasteles, y el segundo es el precio.
Valentina: «Ahora, sin pasteles. Mirad dónde se cortan las rectas de este sistema».
Vega: «Se cortan en el ».
Valentina: «¿Tiene razón Vega?»
- No: es 5, pero es 1, y no 2
- Sí, porque es el cruce de la cuadrícula más cercano
- No, porque las rectas no se cortan
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta: No: es 5, pero es 1, y no 2
El cumple la primera ecuación, pero no la segunda. El corte está entre las rayas de la cuadrícula.
Valentina: «El corte está en el . Si vale 3,5 e vale 1,5, la suma es 5 y la resta es 2».
Valentina: «A ojo, eso no se lee exacto. Para estos casos hay otros métodos, sin dibujo».
Vega: «Dos ecuaciones que se tienen que cumplir a la vez forman un sistema. ¿Dónde está siempre su solución en el dibujo?»
- En un cruce de la cuadrícula
- En uno de los ejes
- Donde se cortan las dos rectas
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta: Donde se cortan las dos rectas
Ese punto está en las dos rectas, así que cumple las dos ecuaciones.
Un sistema de ecuaciones son dos ecuaciones que se tienen que cumplir a la vez. Se escriben una encima de otra, con una llave.
Su solución es la pareja de números que cumple las dos. En este, es el punto , en el que vale 4 y vale 8.
El método gráfico tiene tres pasos. Primero, se dibujan las dos rectas, cada una con su tabla de valores. Después, se lee el punto donde se cortan. Y al final, se comprueba en las dos ecuaciones.
El dibujo no siempre da la solución exacta. Si el corte no está en un cruce de la cuadrícula, como el de las dos rectas de Valentina, a ojo solo se ve más o menos dónde está. Por eso, la solución se comprueba siempre.
Hugo: «¿Dónde se cortan estas dos rectas? Márcalo».
Piénsalo antes de ver la respuesta
- Lo que vale : 2
- Lo que vale : 4
Santiago: «Ya he dibujado la recta de . Dibuja tú la de : marca dos de sus puntos».
Piénsalo antes de ver la respuesta
Por ejemplo: los puntos (0, 2) y (6, 8), que son soluciones de . La recta pasa por los dos.
Los dos puntos cumplen . Las dos rectas se cortan en el .
Valentina: «Miguel dice que, en la solución de este sistema, vale 5 e vale 3. ¿Es verdad?»
- No: en la solución, vale 3 e vale 5
- Sí, porque es 8
- No, porque la segunda no tiene solución
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta: No: en la solución, vale 3 e vale 5
Si vale 3 e vale 5, entonces vale 8, y vale 5, lo mismo que . Se cumplen las dos.
Vega: «La pastelería A cobra 4 € de envío y 1 € por pastel, y la B cobra 2 € por pastel. Con 6 pasteles es más barata la A. ¿Por qué?»
- Porque la A cobra envío
- Porque la A cuesta 10 € y la B cuesta 12 €
- Porque las rectas se cortan en el 6
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta: Porque la A cuesta 10 € y la B cuesta 12 €
Es la razón que vale siempre: hacer la cuenta con los pasteles que se encargan.
Julia: «La solución es el punto , pero se me ha olvidado el sistema. ¿Cuál era?»
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta:
Si vale 4, las dos dan 8.
Lo que te llevas:
- Dos ecuaciones que se cumplen a la vez forman un sistema.
- Cada ecuación es una recta, y la solución es el punto donde se cortan.
- Comprueba siempre la solución en las dos ecuaciones.
- Si el corte está entre las rayas, el dibujo no la da exacta.
Para la próxima: ¿cómo se resuelve un sistema sin dibujarlo?