Método de sustitución en sistemas de ecuaciones
¿Cuánto pesa el autobús?
Haz la lección
Miguel: «Tengo dos balanzas en equilibrio. En la primera, un autobús de juguete y 2 coches iguales pesan lo mismo que 9 canicas».
Miguel: «En la segunda, el autobús pesa lo mismo que un coche y 3 canicas. Quiero saber cuánto pesa cada uno».
Miguel: «¿Qué puedo poner en la primera balanza en lugar del autobús sin que se incline?»
- Un coche y 3 canicas
- 3 canicas
- Nada: hay que quitar el autobús de los dos platos
Piénsalo y despliega para seguir
Vamos a probarlo.
Miguel: «Cambio el autobús por un coche y 3 canicas, que pesan lo mismo. La balanza sigue en equilibrio».
Ver la respuesta de la predicción
Respuesta: Un coche y 3 canicas
Si contestaste «Un coche y 3 canicas»:
Al principio dijiste un coche y 3 canicas, y acertaste: la segunda balanza dice que pesan lo mismo que el autobús.
Si contestaste «3 canicas»:
Al principio dijiste 3 canicas. El autobús pesa 3 canicas más que un coche: si solo pones las canicas, falta el coche, y la balanza se inclina.
Si contestaste «Nada: hay que quitar el autobús de los dos platos»:
Al principio dijiste que había que quitar el autobús de los dos platos. Pero en el de la derecha no hay ningún autobús. Lo que sí se puede es cambiarlo por algo que pese lo mismo.
Valentina: «Ahora solo hay coches y canicas, como en una ecuación. ¿Cuántas canicas pesa un coche?»
Piénsalo antes de ver la respuesta
- Canicas que pesa un coche: 2
Valentina: «Un coche pesa 2 canicas. ¿Cuántas canicas pesa el autobús?»
Piénsalo antes de ver la respuesta
- Canicas que pesa el autobús: 5
Vega: «Ahora, las mismas balanzas con cajas, con la de coche y la de autobús. La es lo que pesa un coche, y la es lo que pesa el autobús».
Vega: «Escrito, es un sistema».
Vega: «Como antes con el autobús, en la primera ecuación cambio la por lo que vale, . ¿Qué queda?»
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta:
Es la balanza de antes, con 3 coches y 3 canicas: queda una ecuación con una sola incógnita, , y vale 2.
Vega: «Ahora, uno sin balanzas».
Vega: «Primero despejo la en la primera ecuación, . ¿Cómo queda?»
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta:
Se resta en los dos lados. Si vale 1, la vale 7, y son 8.
Vega: «Ahora cambio la de la segunda por , entre paréntesis, y queda . ¿Cuánto vale ?»
Piénsalo antes de ver la respuesta
Solución: la x vale 3.
Vega: «La vale 3. Con , ¿cuánto vale ?»
Piénsalo antes de ver la respuesta
- = 5
Julia: «Yo lo hice sin paréntesis, . Me salió que vale 6 e vale 2».
Hugo: «¿Por qué le ha salido mal a Julia?»
- No le ha salido mal, porque es 8
- Porque el «−» resta todo lo que vale , también la
- Porque tenía que despejar la , y no la
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta: Porque el «−» resta todo lo que vale , también la
La vale , y restarla es restar 8 y sumar : .
Santiago: «Yo sustituí en la primera, de la que la había despejado. Me salió y, al final, ».
Valentina: «¿Qué le ha pasado a Santiago?»
- Le ha salido que vale 8
- El sistema no tiene solución
- Ha sustituido en la misma ecuación, y no le dice nada nuevo
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta: Ha sustituido en la misma ecuación, y no le dice nada nuevo
sale de la primera, así que ya la cumple: hay que sustituir en la segunda.
Santiago: «Entonces, ¿dónde se sustituye siempre lo que se ha despejado?»
- En la otra ecuación, entre paréntesis
- Siempre en la segunda ecuación
- En la misma ecuación de la que se ha despejado
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta: En la otra ecuación, entre paréntesis
Así queda una ecuación con una sola incógnita.
El método de sustitución tiene tres pasos. Primero, se despeja una incógnita en una ecuación. Después, se sustituye, entre paréntesis, en la otra, y queda una ecuación con una sola incógnita. Y al final, con lo que vale esa, se calcula la otra.
Conviene despejar la incógnita que no tiene ningún número delante. En , la sale sin fracciones, .
Con un «−» delante, el paréntesis cambia todos los signos de dentro. Y la solución se comprueba siempre en las dos ecuaciones.
Hugo: «Resuelve este sistema por sustitución. ¿Cuánto valen e ?»
Piénsalo antes de ver la respuesta
Solución: la x vale 3 y la y vale 4.
Vega: «Resuelve este sistema por sustitución, y ten cuidado con el signo menos. ¿Cuánto valen e ?»
Piénsalo antes de ver la respuesta
Solución: la x vale 3 y la y vale 4.
Valentina: «Al sustituir en , se pone paréntesis, y queda . ¿Por qué?»
- Porque es un número negativo
- Porque el «−» resta todo lo que vale , el 8 y la
- Porque el método siempre lo pide, aunque no cambie nada
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta: Porque el «−» resta todo lo que vale , el 8 y la
Sin paréntesis solo se restaría el 8.
Julia: «He despejado la y me ha quedado , pero se me ha olvidado de qué ecuación. ¿De cuál era?»
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta:
La suma a la izquierda, y pasa restando: .
Lo que te llevas:
- Despeja una incógnita y sustitúyela en la otra ecuación.
- Lo que sustituyes va entre paréntesis: no es .
- Despeja la que no tiene número delante, como la de .
- Comprueba la solución en las dos ecuaciones.
Para la próxima: ¿y si las dos ecuaciones dicen cuánto vale la ?