Método de reducción en sistemas de ecuaciones

¿Cuánto cuesta un bocadillo?

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Hugo: «En la cafetería del instituto he pagado 7 € por 2 bocadillos y un zumo».

Vega: «Y yo he pagado 4 € por un bocadillo y un zumo, de los mismos que Hugo».

Julia: «¿Cuánto cuesta un bocadillo?»

3 €
3,50 €
No se puede saber sin el precio del zumo

Piénsalo y despliega para seguir

Vamos a comparar los dos tickets.

Vega: «Pongo los dos tickets uno al lado del otro. ¿Cuántos bocadillos más lleva Hugo, y cuántos euros más paga?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Bocadillos de más: 1
Euros de más: 3

Vega: «Hugo lleva un bocadillo más y el mismo zumo, y paga 3 € más. Ese bocadillo de más cuesta 3 €».

Ver la respuesta de la predicción

Respuesta: 3 €

Si contestaste «3 €»:

Al principio dijiste 3 €, y acertaste: lo único que cambia de un ticket a otro es un bocadillo, y cuesta los 3 € de diferencia.

Si contestaste «3,50 €»:

Al principio dijiste 3,50 €. Pero los 7 € de Hugo no son solo de los bocadillos: también pagó un zumo. Comparando con el ticket de Vega, el bocadillo cuesta 3 €.

Si contestaste «No se puede saber sin el precio del zumo»:

Al principio dijiste que no se podía saber sin el precio del zumo. Sí se puede: el zumo está en los dos tickets, y al compararlos se va.

Vega: «¿Y cuánto cuesta el zumo?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Euros del zumo: 1

Hugo: «Yo pensaba que un bocadillo costaba 3,50 €, porque 7 entre 2 son 3,50».

Julia: «¿En qué se equivocaba Hugo?»

En que los 7 € no son solo de los bocadillos: también pagó un zumo
En nada, porque 7 entre 2 son 3,50
En que tenía que dividir 7 entre 3, porque compró 3 cosas

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: En que los 7 € no son solo de los bocadillos: también pagó un zumo

Con los 7 € pagó 2 bocadillos y un zumo: $2\cdot3+1$ es 7.

Valentina: «Con la $b$ de bocadillo y la $z$ de zumo: si $b$ es lo que cuesta un bocadillo y $z$ es lo que cuesta un zumo, los tickets son un sistema».

\begin{cases} 2b+z=7 \\ b+z=4 \end{cases}

Valentina: «Comparar los tickets es restar las dos ecuaciones, lado a lado. El zumo, la $z$ , se va».

\begin{array}{rrcl} & 2b+z&=&7\\ -\; & b+z&=&4\\ \hline & b&=&3 \end{array}

Hugo: «En este, la $y$ tiene un «+» en una ecuación y un «−» en la otra. ¿Qué queda si sumo las dos, lado a lado?»

\begin{cases} x+y=11 \\ x-y=3 \end{cases}

$2x+2y=14$
$2x=14$
$2y=8$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: $2x=14$

La $y$ y la $-y$ se anulan, y queda una ecuación con una sola incógnita.

Hugo: «Queda $2x=14$ . ¿Cuánto valen $x$ e $y$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

$x$ = 7
$y$ = 4

Valentina: «En este, ninguna incógnita tiene lo mismo ni lo contrario».

\begin{cases} 2x+3y=12 \\ x+y=5 \end{cases}

Valentina: «Pero si multiplico toda la segunda por 2, los dos lados, queda $2x+2y=10$ . Y el sistema queda así».

\begin{cases} 2x+3y=12 \\ 2x+2y=10 \end{cases}

Valentina: «Ahora la $x$ tiene lo mismo en las dos, y al restarlas se va. ¿Cuánto valen $x$ e $y$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

$x$ = 3
$y$ = 2

Miguel: «Yo multipliqué por 2 la segunda, pero solo el lado izquierdo, y me quedó $2x+2y=5$ . Me salió que $x$ vale −2 e $y$ vale 7».

Vega: «¿Qué ha hecho mal Miguel?»

Nada, porque $-2+7$ es 5
Tenía que multiplicar por 3, y no por 2
Ha multiplicado por 2 un lado, y el otro no

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Ha multiplicado por 2 un lado, y el otro no

Si $x+y$ vale 5, el doble vale 10. Al comprobar se ve: $2\cdot(-2)+3\cdot7$ es 17, y no 12.

Vega: «Entonces, ¿cuándo se suman las dos ecuaciones y cuándo se restan?»

Se suman siempre
Ni se suman ni se restan: se multiplican
Se restan si una incógnita tiene lo mismo en las dos, y se suman si tiene lo contrario

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Se restan si una incógnita tiene lo mismo en las dos, y se suman si tiene lo contrario

Lo que se busca es que se vaya una incógnita.

El método de reducción consiste en sumar o restar las dos ecuaciones, lado a lado, para que se vaya una incógnita. Se restan si esa incógnita tiene lo mismo en las dos, y se suman si tiene lo contrario, como $y$ y $-y$ .

\begin{array}{rrcl} & x+y&=&11\\ +\; & x-y&=&3\\ \hline & 2x&=&14 \end{array}

Si ninguna tiene lo mismo ni lo contrario, antes se multiplica una ecuación entera, los dos lados, por un número.

\begin{cases} 2x+3y=12 \\ x+y=5 \end{cases}

Si la segunda se multiplica por 2, queda $2x+2y=10$ , y al restar se va la $x$ .

\begin{array}{rrcl} & 2x+3y&=&12\\ -\; & 2x+2y&=&10\\ \hline & y&=&2 \end{array}

Y la solución se comprueba siempre en las dos ecuaciones. Con $x=3$ e $y=2$ , la primera da $2\cdot3+3\cdot2=12$ y la segunda da $3+2=5$ .

Santiago: «Resuelve este sistema por reducción. ¿Cuánto valen $x$ e $y$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Solución: la x vale 5 y la y vale 4.

Vega: «Resuelve este sistema por reducción. Antes tendrás que multiplicar una ecuación. ¿Cuánto valen $x$ e $y$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Solución: la x vale 3 y la y vale 2.

Valentina: «Al multiplicar $x+y=5$ por 2, el 5 también se multiplica, y queda $2x+2y=10$ . ¿Por qué?»

Porque lo que se hace en un lado se hace en el otro, para que sigan valiendo lo mismo
Porque el 5 está solo
Porque así sale un número par

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Respuesta: Porque lo que se hace en un lado se hace en el otro, para que sigan valiendo lo mismo

Si $x+y$ vale 5, el doble de $x+y$ vale el doble de 5.

Julia: «Al restar las dos ecuaciones me ha salido $x=3$ , pero se me ha olvidado el sistema. ¿Cuál era?»

$\begin{cases} x+2y=8 \\ x+y=5 \end{cases}$
$\begin{cases} 2x+y=8 \\ x+y=5 \end{cases}$
$\begin{cases} 2x+y=8 \\ x+y=3 \end{cases}$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: $\begin{cases} 2x+y=8 \\ x+y=5 \end{cases}$

Al restarlas se va la $y$ : $2x-x$ es $x$ , y $8-5$ es 3.

Lo que te llevas:

Suma o resta las dos ecuaciones para que se vaya una incógnita.
Resta si tiene lo mismo en las dos, y suma si tiene lo contrario.
Si hace falta, multiplica antes una ecuación entera, los dos lados.
Comprueba la solución en las dos ecuaciones.

Para la próxima: ¿tiene siempre solución un sistema?

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