Método de igualación en sistemas de ecuaciones

¿Cuándo tendrán lo mismo?

Haz la lección

Julia: «Tengo 20 € en la hucha, y cada semana ahorro 5 € más».

Miguel: «Yo tengo 50 €, pero solo ahorro 2 € cada semana. Así que siempre tendré más que tú».

Hugo: «¿Dentro de cuántas semanas tendrán Julia y Miguel lo mismo?»

Dentro de 10 semanas
Dentro de 6 semanas
Nunca, porque Miguel empieza con más

Piénsalo y despliega para seguir

Vamos a hacer una tabla.

Hugo: «Dentro de 5 semanas, ¿cuánto dinero tendrá cada uno?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Euros de Julia: 45
Euros de Miguel: 60

Hugo: «Julia ya le ha recortado a Miguel 15 €. ¿Y dentro de 10 semanas, cuánto tendrá cada uno?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Euros de Julia: 70
Euros de Miguel: 70

Hugo: «Dentro de 10 semanas, los dos tendrán 70 €».

Ver la respuesta de la predicción

Respuesta: Dentro de 10 semanas

Si contestaste «Dentro de 10 semanas»:

Al principio dijiste dentro de 10 semanas, y acertaste: cada semana Julia le recorta 3 € a Miguel, y en 10 semanas le recorta los 30 € que le sacaba.

Si contestaste «Dentro de 6 semanas»:

Al principio dijiste dentro de 6 semanas. Entonces Julia tendrá 50 € y Miguel, que también ahorra, tendrá 62 €. Hacen falta 10.

Si contestaste «Nunca, porque Miguel empieza con más»:

Al principio dijiste que nunca, porque Miguel empieza con más. Pero Julia ahorra más cada semana, y le va alcanzando: dentro de 10 semanas tienen lo mismo.

Miguel: «Yo lo había calculado así. Le saco 30 € a Julia, y ella ahorra 5 € a la semana. Como 30 entre 5 son 6, tendremos lo mismo dentro de 6 semanas».

Vega: «¿Qué se le ha olvidado a Miguel?»

Que él también ahorra: Julia solo le recorta 3 € cada semana
Nada: dentro de 6 semanas tienen lo mismo
Que tenía que dividir 30 entre 2

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Que él también ahorra: Julia solo le recorta 3 € cada semana

Lo que se recorta cada semana es $5-2$ , 3 €. Y 30 entre 3 son 10 semanas.

Valentina: «Con la $s$ de semanas y la $d$ de dinero: si $s$ son las semanas y $d$ es el dinero, cada uno tiene su ecuación».

\begin{cases} d=20+5s \\ d=50+2s \end{cases}

Valentina: «Las dos dicen cuánto vale $d$ . Cuando tienen lo mismo, lo de la derecha vale lo mismo en las dos, y se puede igualar».

20+5s=50+2s

Valentina: «Ahora es una ecuación con una sola incógnita. ¿Cuánto vale $s$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Solución: la s vale 10.

Valentina: «La $s$ vale 10. Con $d=20+5s$ , ¿cuánto vale $d$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

$d$ = 70

Valentina: «Ahora, uno sin dinero. Despejo la $x$ en las dos ecuaciones: de la primera sale $x=9-y$ , y de la segunda sale $x=3+y$ ».

\begin{cases} x+y=9 \\ x-y=3 \end{cases}

Valentina: «Las dos dicen cuánto vale $x$ , así que $9-y=3+y$ . ¿Cuánto vale $y$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Solución: la y vale 3.

Valentina: «La $y$ vale 3. Con $x=9-y$ , ¿cuánto vale $x$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

$x$ = 6

Valentina: «Sale que $x$ vale 6 e $y$ vale 3. Ahora lo compruebo en las dos ecuaciones. ¿Cuánto valen $x+y$ y $x-y$ con esos números?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

$6+3$ = 9
$6-3$ = 3

Vega: «Yo despejé la $x$ en la primera y la $y$ en la segunda: me salió $x=9-y$ , y también $y=x-3$ . Y lo igualé, $9-y=x-3$ ».

Hugo: «¿Por qué no le sirve a Vega?»

Porque en la segunda no se puede despejar la $y$
Porque ha igualado lo que vale $x$ con lo que vale $y$
Sí le sirve: ya tiene una sola ecuación

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Porque ha igualado lo que vale $x$ con lo que vale $y$

$9-y$ es lo que vale $x$ , y $x-3$ es lo que vale $y$ . Con la solución, el primero vale 6 y el segundo vale 3: no son iguales.

Miguel: «Entonces, ¿qué se iguala siempre?»

Las dos ecuaciones tal como están
Los números que van delante de la $x$
Dos expresiones de la misma incógnita

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Dos expresiones de la misma incógnita

Dos expresiones de la $x$ , o dos de la $y$ : valen lo mismo, y se pueden igualar.

El método de igualación tiene tres pasos. Primero, se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones. Después, se igualan las dos expresiones, y queda una ecuación con una sola incógnita. Y al final, con lo que vale esa, se calcula la otra.

\begin{cases} x=9-y \\ x=3+y \end{cases}

\begin{aligned} 9-y&=3+y\\ y&=3\\ x&=9-3=6 \end{aligned}

Conviene cuando las dos ecuaciones ya dicen cuánto vale la misma incógnita, como las del dinero, que empiezan por « $d=$ ».

Solo se igualan dos expresiones de la misma incógnita. Y la solución se comprueba siempre en las dos ecuaciones. Con $x=6$ e $y=3$ , la primera da $6+3=9$ y la segunda da $6-3=3$ .

Hugo: «Resuelve este sistema por igualación. ¿Cuánto valen $x$ e $y$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Solución: la x vale 3 y la y vale 7.

Vega: «Resuelve este sistema por igualación. Primero tienes que despejar. ¿Cuánto valen $x$ e $y$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Solución: la y vale 4 y la x vale 6.

Santiago: «Julia tiene 20 € y ahorra 5 € a la semana. Miguel tiene 50 € y ahorra 2 € a la semana. Tendrán lo mismo dentro de 10 semanas. ¿Por qué no dentro de 6?»

Porque dentro de 6 semanas Julia tiene 50 € y Miguel tiene 62 €
Porque 30 entre 5 no da exacto
Porque Miguel empieza con más dinero

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Porque dentro de 6 semanas Julia tiene 50 € y Miguel tiene 62 €

Miguel también ahorra, y a las 6 semanas todavía tiene más.

Julia: «Julia y Miguel ahorran cada semana, y tendrán lo mismo dentro de 8 semanas. Se me han olvidado los datos. ¿Cuáles eran?»

Julia tiene 10 € y ahorra 2 €, y Miguel tiene 18 € y ahorra 3 €
Julia tiene 10 € y ahorra 3 €, y Miguel tiene 18 € y ahorra 2 €
Julia tiene 10 € y ahorra 3 €, y Miguel tiene 18 € y ahorra 1 €

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Julia tiene 10 € y ahorra 3 €, y Miguel tiene 18 € y ahorra 2 €

Julia le recorta 1 € cada semana, y los 8 € de diferencia desaparecen en 8 semanas.

Lo que te llevas:

Despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones e iguala lo que sale.
Si las dos empiezan por « $y=$ », iguala directamente lo de la derecha.
Iguala solo dos expresiones de la misma incógnita.
Comprueba la solución en las dos ecuaciones.

Para la próxima: ¿y si se suman o se restan las dos ecuaciones?

¿Has visto un error? Avísanos