Ecuaciones lineales con dos incógnitas y su recta

¿Cuántos goles metió Hugo cada día?

Hugo: «Este fin de semana he jugado dos partidos, el sábado y el domingo. ¡Y he metido 7 goles!»

Valentina: «¿Cuántos metiste cada día?»

Hugo: «No me acuerdo. Solo sé que entre los dos partidos fueron 7».

Vega: «Hay muchas posibilidades. Si cada una se dibuja como un punto, con los goles del sábado hacia la derecha y los del domingo hacia arriba, ¿cómo quedarán todos los puntos?»

En línea recta
Formando una curva
Desordenados, cada uno por su lado

Piénsalo y despliega para seguir

Vamos a dibujarlos.

Valentina: «Empecemos por una tabla. Si el sábado metiste 2 goles, ¿cuántos metiste el domingo?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Goles del domingo: 5

Vega: «Cada posibilidad es un punto. El $(2,5)$ son 2 goles el sábado y 5 el domingo».

Vega: «Si el sábado fueron 6 goles, ¿dónde va su punto? Márcalo».

Piénsalo antes de ver la respuesta

Goles del sábado: 6
Goles del domingo: 1

Vega: «Aquí están todos, del $(0,7)$ al $(7,0)$ ».

Ver la respuesta de la predicción

Respuesta: En línea recta

Si contestaste «En línea recta»:

Al principio dijiste que los puntos quedarían en línea recta, y acertaste. Cada gol más el sábado es un gol menos el domingo: cada punto está una casilla a la derecha y una más abajo que el anterior.

Si contestaste «Formando una curva»:

Al principio dijiste que los puntos formarían una curva. Quedan en línea recta: cada gol más el sábado es un gol menos el domingo, y cada punto está una casilla a la derecha y una más abajo que el anterior.

Si contestaste «Desordenados, cada uno por su lado»:

Al principio dijiste que los puntos quedarían desordenados. Quedan en línea recta: cada gol más el sábado es un gol menos el domingo, y cada punto está una casilla a la derecha y una más abajo que el anterior.

Julia: «Lo que sabemos de los goles se puede escribir con palabras».

\text{los del sábado}+\text{los del domingo}=7

Julia: «Con la $s$ de sábado y la $d$ de domingo: si $s$ son los goles del sábado y $d$ son los del domingo, queda así».

s+d=7

Julia: «Es una ecuación, pero con dos incógnitas».

Miguel: «Entonces $s+d=7$ no tiene solución. Con dos incógnitas no se puede despejar la $s$ ».

Julia: «¿Tiene razón Miguel?»

Sí, porque hay dos incógnitas
No: tiene muchas soluciones, como el punto $(2,5)$
No: tiene una sola, el punto $(3,4)$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: No: tiene muchas soluciones, como el punto $(2,5)$

Lo que no se sabe es cuál de ellas es la de Hugo, porque todas suman 7.

Valentina: «Si no fueran goles, las incógnitas podrían ser cualquier número, también negativos o con decimales. Como no cuentan nada, se llaman $x$ e $y$ , y la ecuación es $x+y=7$ ».

Valentina: «En $x+y=7$ , si $x$ vale 8, ¿cuánto tiene que valer $y$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Lo que vale $y$ : −1

Valentina: «¿Y si $x$ vale 2,5? ¿Cuánto tiene que valer $y$ para que sumen 7?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Lo que vale $y$ : 4,5

Valentina: «Mira los puntos con los dos nuevos, el $(8,-1)$ y el $(2{,}5;\ 4{,}5)$ . Entre dos puntos siempre cabe otro, y al final llenan una recta, la de $x+y=7$ ».

Hugo: «Entonces, ¿cuántas soluciones tiene $x+y=7$ ?»

Ocho, del $(0,7)$ al $(7,0)$
Ninguna, porque hay dos incógnitas
Infinitas: todos los puntos de su recta

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Infinitas: todos los puntos de su recta

Cada punto de la recta es una pareja de números que suman 7.

Una ecuación con dos incógnitas, como $x+y=7$ , tiene infinitas soluciones.

Cada solución es una pareja de números, que se escribe como un punto. Por ejemplo, si $x$ vale 2 e $y$ vale 5, la solución es el punto $(2,5)$ . Todas las soluciones juntas forman una recta.

Vega: «Ahora quiero la recta de $2x+y=8$ . Para encontrar sus puntos, le doy un valor a la $x$ y calculo la $y$ . Si $x$ vale 0, entonces $y$ vale 8».

Vega: «Si $x$ vale 1, ¿cuánto vale $y$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Lo que vale $y$ : 6

Vega: «Si $x$ vale 1, entonces $y$ vale 6. Así que dibujo el punto $(6,1)$ ».

Santiago: «¿Está en la recta de $2x+y=8$ el punto de Vega?»

No: el punto es el $(1,6)$ , porque la $x$ va primero
Sí, porque tiene el 1 y el 6
No, porque el 6 es mayor que el 1

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: No: el punto es el $(1,6)$ , porque la $x$ va primero

Si $x$ vale 1 e $y$ vale 6, el punto es el $(1,6)$ . Con el $(6,1)$ sale $2\cdot6+1$ , que es 13, y no 8.

Para dibujar la recta de una ecuación con dos incógnitas se hace una tabla de valores: se da un valor a la $x$ y se calcula la $y$ .

Bastan dos puntos, porque por dos puntos solo pasa una recta. Un tercero sirve para comprobar.

Julia: «Estoy haciendo la tabla de valores de $y=3x-2$ . Si $x$ vale 2, ¿cuánto vale $y$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Lo que vale $y$ : 4

Hugo: «¿Está el punto $(3,2)$ en la recta de $2x+y=8$ ?»

No, porque 3 más 2 no son 8
Sí, porque $2\cdot3+2$ es 8
No: el que está en la recta es el $(2,3)$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Sí, porque $2\cdot3+2$ es 8

Si $x$ vale 3 e $y$ vale 2, los dos lados dan 8.

Vega: «Dibuja la recta de $2x+y=6$ : marca dos de sus puntos».

Piénsalo antes de ver la respuesta

Por ejemplo: los puntos (0, 6) y (3, 0), que son soluciones de $2x+y=6$ . La recta pasa por los dos.

Los dos puntos cumplen $2x+y=6$ , y la recta pasa por ellos.

Santiago: «Para dibujar la recta de $2x+y=8$ bastan dos puntos, como el $(0,8)$ y el $(4,0)$ . ¿Por qué?»

Porque por dos puntos solo pasa una recta
Porque el $(0,8)$ y el $(4,0)$ están en los ejes
Porque en la ecuación hay un 2

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Porque por dos puntos solo pasa una recta

Con dos puntos la recta ya está dibujada. El tercero sirve para comprobar que las cuentas están bien.

Valentina: «La respuesta es $(2,5)$ , pero se me ha olvidado la pregunta. ¿Cuál era?»

¿Qué punto de la recta de $x+y=5$ tiene la $x$ igual a 2?
¿Qué punto de la recta de $2x+y=5$ tiene la $x$ igual a 2?
¿Qué punto de la recta de $x+y=7$ tiene la $x$ igual a 2?

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: ¿Qué punto de la recta de $x+y=7$ tiene la $x$ igual a 2?

Si $x$ vale 2, la $y$ tiene que valer 5 para que sumen 7.

Lo que te llevas:

Una ecuación con dos incógnitas, como $x+y=7$ , tiene infinitas soluciones.
Cada solución es un punto, y todas juntas forman una recta.
Para dibujarla, da valores a la $x$ y calcula la $y$ : bastan dos puntos.

Para la próxima: Julia y Hugo tienen 10 cromos entre los dos, y Julia tiene 4 más. ¿Cuántos tiene cada uno?

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