Suma y resta de polinomios

Julia: «Hugo y yo vamos a juntar nuestras piezas. Yo tengo $x^2+2x+3$ , y Hugo tiene $2x^2+x+1$ ».

De Julia

De Hugo

Hugo: «¿Cómo se escribe todo lo que tenemos juntos?»

$3x^2+3x+4$
$10x^2$
$3x^4+3x^2+4$

Piénsalo y despliega para seguir

Vamos a contar las piezas.

Julia: «¿Cuántas piezas de cada clase tenemos entre los dos?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Cuadrados grandes: 3
Tiras: 3
Cuadraditos: 4

Julia: «Tenemos 3 cuadrados grandes, 3 tiras y 4 cuadraditos, es decir, $3x^2+3x+4$ . Los cuadrados grandes siguen siendo cuadrados grandes».

Ver la respuesta de la predicción

Respuesta: $3x^2+3x+4$

Si contestaste « $3x^2+3x+4$ »:

Al principio dijiste $3x^2+3x+4$ , y acertaste.

Si contestaste « $10x^2$ »:

Al principio dijiste $10x^2$ . Así se cuentan las 10 piezas como cuadrados grandes, y 3 son tiras y 4 son cuadraditos.

Si contestaste « $3x^4+3x^2+4$ »:

Al principio dijiste $3x^4+3x^2+4$ . Así cambian las piezas: los cuadrados grandes son $x^2$ , y las tiras, $x$ .

Santiago: «Yo tengo $x^2$ , y me dan $2x^2$ . Ahora tengo $3x^4$ , porque los exponentes también se suman».

Vega: «¿Tiene razón Santiago?»

Sí: 2 más 2 son 4
No: son 3 cuadrados grandes, es decir, $3x^2$
No: es $2x^4$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: No: son 3 cuadrados grandes, es decir, $3x^2$

Se suman los coeficientes, y el exponente no cambia. Si $x$ vale 2, entonces $x^2+2x^2$ vale 12, y $3x^4$ vale 48.

Valentina: «Ahora, al revés. Yo tengo $3x^2+5x+4$ en piezas, y le doy a Hugo $x^2+2x+1$ . Escribe con las fichas lo que me queda».

Piénsalo antes de ver la respuesta

Operación: $2 x ^2 + 3 x + 3$

Julia: «Entonces, ¿qué se suma siempre al sumar dos polinomios?»

Todos los coeficientes, en un solo número
Los coeficientes y también los exponentes
Los coeficientes de los semejantes, y el exponente no cambia

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Los coeficientes de los semejantes, y el exponente no cambia

Cuadrados grandes con cuadrados grandes, y tiras con tiras. Cada clase sigue siendo la misma pieza.

Para sumar polinomios, se juntan los términos semejantes, sumando sus coeficientes, y el exponente no cambia. Ayuda escribirlos en columnas, una por grado.

\begin{aligned} &(x^2+2x+3)+(2x^2+x+1)\\ &=3x^2+3x+4 \end{aligned}

Para restar, se restan los coeficientes de los semejantes. Si hay un «−» delante de un paréntesis, cambia el signo de todo lo de dentro, porque se resta todo.

\begin{aligned} &(4x^2+3x)-(x^2-x)\\ &=4x^2+3x-x^2+x\\ &=3x^2+4x \end{aligned}

Quitar $-x$ es sumar $x$ , como con los enteros.

Para comprobarlo, da un valor a la $x$ . Si $x$ vale 1, entonces $(4x^2+3x)-(x^2-x)$ vale $7-0$ , que es 7, y $3x^2+4x$ también vale 7.

Si con un número no sale lo mismo, seguro que hay un error.

Vega: «He hecho $(3x^2+5x)-(x^2-2x)$ , y me sale $2x^2+3x$ ».

Miguel: «¿Tiene razón Vega?»

No: es $2x^2+7x$ , porque el «−» cambia también el signo de $-2x$
Sí: $5x-2x$ es $3x$
No: es $4x^2+3x$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: No: es $2x^2+7x$ , porque el «−» cambia también el signo de $-2x$

Quitar $-2x$ es sumar $2x$ , y $5x+2x$ es $7x$ . Si $x$ vale 1, la resta vale 9, y $2x^2+3x$ vale 5.

Santiago: «Escribe con las fichas $(5x^2+4x)-(2x^2-3x)$ , sin paréntesis y juntando los semejantes».

Piénsalo antes de ver la respuesta

Operación: $3 x ^2 + 7 x$

Hugo: « $x^2+2x^2$ es $3x^2$ , y no $3x^4$ . ¿Por qué?»

Porque el exponente no se toca nunca
Porque son 3 cuadrados grandes, que siguen siendo cuadrados grandes
Porque 1 más 2 son 3

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Porque son 3 cuadrados grandes, que siguen siendo cuadrados grandes

Al juntar piezas iguales, cambia cuántas hay, no qué pieza son.

Miguel: «La respuesta es $4x^2+x$ , pero se me ha olvidado la pregunta. ¿Qué había que calcular?»

$(3x^2+2x)-(x^2-x)$
$(3x^2+2x)+(x^2+x)$
$(3x^2+2x)+(x^2-x)$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: $(3x^2+2x)+(x^2-x)$

$3x^2+x^2$ es $4x^2$ , y $2x-x$ es $x$ .

Lo que te llevas:

Para sumar polinomios, junta los semejantes sumando los coeficientes, y $x^2+2x^2$ es $3x^2$ .
Al sumar, el exponente no cambia.
Un «−» delante de un paréntesis cambia el signo de todo lo de dentro, y $-(x^2-x)$ es $-x^2+x$ .

Para la próxima: ¿cuánto es $12\cdot13$ ?