Sacar factor común, con números y con polinomios

Santiago: «Compro pienso para Coco a 7 € el kilo. Primero compro 3 kilos, y después, otros 7 kilos al mismo precio».

Santiago: «¿Se puede saber cuánto he pagado en total sin hacer las dos multiplicaciones, $7\cdot3$ y $7\cdot7$ ?»

Sí, con $7\cdot10$
No, hay que hacer las dos
Sí, con $14\cdot10$

Piénsalo y despliega para seguir

Primero, por el camino largo.

Valentina: «Lo dibujo: dos rectángulos de alto 7, uno de 3 de largo y otro de 7. Cada uno es lo que pagó Santiago en una compra».

Valentina: «¿Cuánto pagó en cada compra, y cuánto en total?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Por 3 kilos: 21
Por 7 kilos: 49
En total: 70

Valentina: «Juntos, los dos rectángulos son uno de 7 por 10, porque $3+7$ es 10. Así que $7\cdot3+7\cdot7$ es $7\cdot10$ , que es 70».

Ver la respuesta de la predicción

Respuesta: Sí, con $7\cdot10$

Si contestaste «Sí, con $7\cdot10$ »:

Al principio dijiste que sí, con $7\cdot10$ , y acertaste.

Si contestaste «No, hay que hacer las dos»:

Al principio dijiste que hay que hacer las dos. Se puede, pero con una basta: los kilos se suman, y el precio es el mismo.

Si contestaste «Sí, con $14\cdot10$ »:

Al principio dijiste $14\cdot10$ . Así el precio sería 14 € el kilo, y es 7 € en las dos compras.

Valentina: «Con la $x$ pasa igual. Un rectángulo tiene un área de $6x^2+3x$ , y uno de sus lados mide $3x$ . ¿Cuánto mide el otro lado?»

$2x$
$2x+1$
$2x+3$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: $2x+1$

$3x\cdot2x$ es $6x^2$ , y $3x\cdot1$ es $3x$ .

Valentina: «El rectángulo de $3x$ por $2x+1$ tiene dos trozos, $6x^2$ y $3x$ . Así que $6x^2+3x$ es $3x(2x+1)$ ».

Miguel: «Yo saco el 3 de $6x+3$ , y queda $3(2x)$ ».

Julia: «¿Tiene razón Miguel?»

Sí: $6x$ entre 3 es $2x$
No: es $3(2x+3)$
No: falta el 1, porque 3 entre 3 es 1, y queda $3(2x+1)$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: No: falta el 1, porque 3 entre 3 es 1, y queda $3(2x+1)$

Al comprobarlo, $3(2x+1)$ es $6x+3$ . En cambio, $3(2x)$ es solo $6x$ .

Santiago: «Entonces, ¿qué se saca siempre fuera del paréntesis?»

Lo que multiplica a todos los términos, lo más grande posible
Solo el número
Lo que hay en el primer término

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Lo que multiplica a todos los términos, lo más grande posible

En $6x^2+3x$ , el 3 y la $x$ están en los dos términos, y sale $3x$ .

Sacar factor común es escribir una suma como una multiplicación. Lo que multiplica a todos los términos sale fuera del paréntesis, y dentro queda cada término dividido entre él.

7\cdot3+7\cdot7=7\cdot(3+7)

Con la $x$ , $6x^2+3x$ es $3x(2x+1)$ . Y si sale un término entero, dentro queda un 1.

Se saca el mayor factor común. En $6x^2+4x$ , los dos términos tienen un 2 y una $x$ , así que sale $2x$ .

6x^2+4x=2x(3x+2)

Para comprobarlo, multiplica. $2x(3x+2)$ es $6x^2+4x$ , lo mismo que había al principio, así que está bien.

Si al multiplicar no sale lo de antes, hay un error.

Vega: «He sacado factor común en $4x^2+6x$ , y me sale $2(2x^2+3x)$ ».

Hugo: «¿Está bien?»

Está mal: $2(2x^2+3x)$ no es $4x^2+6x$
Es verdad, pero aún hay una $x$ en los dos términos: es $2x(2x+3)$
Está bien, y ya no se puede sacar nada más

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Es verdad, pero aún hay una $x$ en los dos términos: es $2x(2x+3)$

Se saca el mayor factor común, el 2 y la $x$ . Y $2x(2x+3)$ es $4x^2+6x$ .

Julia: «Escribe con las fichas $10x+5$ sacando factor común».

Piénsalo antes de ver la respuesta

Operación: $5 ( 2 x + 1 )$

Santiago: « $6x+3$ es $3(2x+1)$ . ¿Por qué hay un 1 dentro del paréntesis?»

Porque siempre se pone un 1
Porque la $x$ vale 1
Porque 3 dividido entre 3 es 1, y sin él, $3\cdot2x$ es solo $6x$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Porque 3 dividido entre 3 es 1, y sin él, $3\cdot2x$ es solo $6x$

El 1 es lo que queda del 3. Al multiplicar, $3\cdot1$ devuelve el 3.

Miguel: «La respuesta es $2x(x+3)$ , pero se me ha olvidado la pregunta. ¿En qué había que sacar factor común?»

$2x^2+6x$
$2x^2+3x$
$2x^2+6$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: $2x^2+6x$

$2x\cdot x$ es $2x^2$ , y $2x\cdot3$ es $6x$ .

Lo que te llevas:

Sacar factor común es sacar fuera lo que multiplica a todos los términos, y $7\cdot3+7\cdot7$ es $7\cdot10$ .
Saca el mayor, y $6x^2+3x$ es $3x(2x+1)$ .
Si sale un término entero, dentro queda un 1.
Para comprobarlo, multiplica.

Para la próxima: ¿cuánto es $21^2$ ?