¿Por qué funciona el truco?

Valentina, Vega, Hugo, Santiago, Miguel, tú

Problemas de identidades notables

¿Por qué funciona el truco?

Haz la lección

Valentina: «Taller de identidades notables, segunda parte: áreas, un truco de magia y factorizar».

Valentina: «En cada uno, piensa qué identidad es, si es alguna. Y si te atascas, pulsa “Pista paso a paso”».

Vega: «Problema 1. Mi abuela tiene un jardín cuadrado, y lo va a agrandar: el lado pasa de $x$ metros a $x+2$ ».

Vega: «Si el lado mide ahora 5 metros, ¿cuántos metros cuadrados crece el jardín?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Metros cuadrados que crece: 24

Vega: «Ahora con la $x$ . El jardín nuevo mide $(x+2)^2$ . ¿A qué es igual $(x+2)^2$ ?»

$x^2+2^2$
$x^2+2\cdot x\cdot2+2^2$
$x^2+x\cdot2+2^2$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: $x^2+2\cdot x\cdot2+2^2$

El jardín de antes, dos tiras de $x$ por 2 y la esquina de 2 por 2.

Vega: «El jardín crece $(x+2)^2-x^2$ , es decir, $x^2+2\cdot x\cdot2+2^2-x^2$ . Escríbelo con las fichas, juntando lo que se pueda».

Piénsalo antes de ver la respuesta

Operación: $4 x + 4$

Si $x$ vale 5, entonces $4x+4$ vale 24, lo mismo que antes.

Valentina: «Problema 2. Un truco de magia. Piensa un número, por ejemplo el 3. Su siguiente es el 4, y su anterior, el 2».

Valentina: «Eleva los dos al cuadrado y réstalos. ¿Cuánto es $4^2-2^2$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

$4^2-2^2$ = 12

Valentina: «Ahora, la magia. Divide entre 4 lo que te ha salido. ¿Qué número sale?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

$12:4$ = 3

Valentina: «¡Sale el 3, el número que pensaste! Y sale con cualquier número».

Valentina: «¿Por qué? Si tu número es $x$ , el siguiente es $x+1$ , y el anterior, $x-1$ . Escribe con las fichas $(x+1)^2-(x-1)^2$ , desarrollado».

Piénsalo antes de ver la respuesta

Operación: $4 x$

Y $4x$ dividido entre 4 es $x$ : el número que pensaste.

Hugo: «Problema 3. Multiplico un número por ese número más 2, y le sumo 1. Con el 3, $3\cdot5+1$ es 16, que es $4^2$ ».

Hugo: «Hazlo con el 5. ¿Cuánto es $5\cdot7+1$ , y de qué número es el cuadrado?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

$5\cdot7+1$ = 36
Es el cuadrado de: 6

Hugo: «Si el número es $x$ , ese número más 2 es $x+2$ . ¿Por qué $x(x+2)+1$ es siempre un cuadrado?»

Porque $x(x+2)+1$ es $x^2+2x+1$ , que es $(x+1)^2$
Porque los dos números son impares
Porque 16 es un cuadrado

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Porque $x(x+2)+1$ es $x^2+2x+1$ , que es $(x+1)^2$

Es el cuadrado del número de en medio: con el 3 y el 5, el 4.

Santiago: «Problema 4. Vamos a factorizar $x^2-36$ . Primero, ¿qué es?»

Una diferencia de cuadrados, $x^2-6^2$
Ninguna: no se factoriza
Un cuadrado de una diferencia, $x^2-2\cdot x\cdot6+6^2$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Una diferencia de cuadrados, $x^2-6^2$

36 es $6^2$ , y una diferencia de cuadrados es una suma por diferencia.

Santiago: « $x^2-36$ es una diferencia de cuadrados, $x^2-6^2$ . Factorízalo y escríbelo con las fichas».

Piénsalo antes de ver la respuesta

Operación: $( x + 6 ) ( x - 6 )$

Santiago: «¿Cuál es $3x^2-12$ factorizado del todo?»

$3(x^2-4)$
$3(x+2)(x-2)$
$(3x+2)(3x-2)$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: $3(x+2)(x-2)$

Primero sale el 3, y después $x^2-4$ es $(x+2)(x-2)$ .

Miguel: «Problema 5. La respuesta es $4x$ , pero se me ha olvidado la pregunta. ¿Qué había que desarrollar?»

$(x+2)^2-x^2$
$(x+1)(x-1)$
$(x+1)^2-(x-1)^2$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: $(x+1)^2-(x-1)^2$

$x^2+2x+1$ menos $x^2-2x+1$ es $4x$ .

Lo que te llevas del taller:

Para saber cuánto crece un área, resta: $(x+2)^2-x^2$ es $4x+4$ .
Para saber por qué funciona un truco, hazlo con la $x$ .
Antes de factorizar con una identidad, saca factor común.

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