Multiplicación de polinomios

Hugo: «Me han contado un truco para multiplicar de cabeza. Voy a probar con $12\cdot13$ ».

Hugo: «Separo cada número: 12 es $10+2$ , y 13 es $10+3$ . Multiplico lo primero por lo primero y lo último por lo último».

Hugo: « $10\cdot10$ es 100, y $2\cdot3$ es 6. Así que $12\cdot13$ es 106».

Valentina: «¿Cuánto es $12\cdot13$ ?»

106, como dice Hugo
156
136

Piénsalo y despliega para seguir

Vamos a dibujarlo.

Valentina: « $12\cdot13$ es el área de un rectángulo de 12 por 13. Lo parto en trozos: 12 es $10+2$ , y 13 es $10+3$ ».

Valentina: «¿Cuánto mide el área del trozo de 10 por 3, el amarillo de abajo?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Área del trozo de 10 por 3: 30

Valentina: «Los cuatro trozos son 100, 30, 20 y 6. Juntos son 156, así que $12\cdot13$ es 156».

Ver la respuesta de la predicción

Respuesta: 156

Si contestaste «156»:

Al principio dijiste 156, y acertaste.

Si contestaste «106, como dice Hugo»:

Al principio dijiste 106, como Hugo. Pero así solo se cuentan el trozo de 100 y el de 6: faltan los dos de en medio, 30 y 20.

Si contestaste «136»:

Al principio dijiste 136. Así falta uno de los trozos de en medio: son dos, el de 30 y el de 20.

Santiago: «El patio del instituto es un cuadrado de $x$ metros de lado. Lo van a agrandar 2 metros a lo ancho y 3 a lo largo».

Santiago: «¿Cuál es el área del trozo de $x$ por 3, la tira amarilla de abajo?»

$3x$
$x+3$
3

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: $3x$

$x$ multiplicado por 3 es $3x$ : son 3 tiras como las de antes, juntas.

Santiago: «Los cuatro trozos son $x^2$ , las dos tiras amarillas, $2x$ y $3x$ , y 6. Escribe con las fichas el área del patio nuevo, juntando lo que se pueda».

Piénsalo antes de ver la respuesta

Operación: $x ^2 + 5 x + 6$

Hugo: «Yo lo hago con mi truco: $(x+2)(x+3)$ es $x\cdot x$ y $2\cdot3$ . O sea, $x^2+6$ ».

Julia: «¿Tiene razón Hugo?»

Sí: se multiplica lo primero por lo primero, y lo último por lo último
No: faltan los dos trozos de en medio, $3x$ y $2x$
No: es $2x+5$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: No: faltan los dos trozos de en medio, $3x$ y $2x$

Se ve también con un número. Si $x$ vale 1, entonces $(x+2)(x+3)$ es $3\cdot4$ , que es 12, y $x^2+6$ es solo 7.

Hugo: «Vale, mi truco no funciona. Entonces, ¿cuántas multiplicaciones hay que hacer en $(x+2)(x+3)$ ?»

Cuatro: cada término de uno por cada término del otro
Dos: lo de fuera por cada término de dentro
Una: un paréntesis por el otro

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Cuatro: cada término de uno por cada término del otro

Son los cuatro trozos del rectángulo, $x\cdot x$ , $x\cdot3$ , $2\cdot x$ y $2\cdot3$ .

Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada término de uno por cada término del otro, y después se juntan los semejantes.

\begin{aligned} (x+2)(x+3)&=x^2+3x+2x+6\\ &=x^2+5x+6 \end{aligned}

Son los cuatro trozos del rectángulo. Pasar de $(x+2)(x+3)$ a $x^2+5x+6$ se llama desarrollar.

Con un «−», cada término lleva su signo, con la regla de los signos de los enteros. En $(x+4)(x-1)$ , $x$ multiplicado por $-1$ es $-x$ , y 4 multiplicado por $-1$ es $-4$ .

\begin{aligned} (x+4)(x-1)&=x^2-x+4x-4\\ &=x^2+3x-4 \end{aligned}

Para comprobarlo, da un valor a la $x$ . Si $x$ vale 2, entonces $(x+4)(x-1)$ es $6\cdot1$ , que es 6, y $x^2+3x-4$ es $4+6-4$ , que también es 6.

Si con un número no sale lo mismo, seguro que hay un error.

Julia: «He desarrollado $(x+4)(x-1)$ , y me sale $x^2+5x-4$ ».

Vega: «¿Tiene razón Julia?»

Sí, porque $4x$ y $x$ son $5x$
No: es $x^2+3x-4$ , porque $x$ multiplicado por $-1$ es $-x$
No: es $x^2-4$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: No: es $x^2+3x-4$ , porque $x$ multiplicado por $-1$ es $-x$

Si $x$ vale 2, entonces $(x+4)(x-1)$ vale 6, y $x^2+3x-4$ también. En cambio, $x^2+5x-4$ vale 10.

Santiago: «Mi habitación mide $x+3$ por $x+5$ metros. Escribe con las fichas su área, $(x+3)(x+5)$ , desarrollada».

Piénsalo antes de ver la respuesta

Operación: $x ^2 + 8 x + 15$

Valentina: « $12\cdot13$ es 156, y no 106, como decía Hugo. ¿Por qué?»

Porque 106 es menos que $12\cdot10$
Porque $2\cdot3$ no es 6
Porque faltan dos trozos, $10\cdot3$ y $2\cdot10$ , que son 50

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Porque faltan dos trozos, $10\cdot3$ y $2\cdot10$ , que son 50

$100+30+20+6$ son 156. Con 106 solo están el trozo grande y el de la esquina.

Miguel: «La respuesta es $x^2+7x+12$ , pero se me ha olvidado la pregunta. ¿Qué había que multiplicar?»

$(x+2)(x+6)$
$(x+5)(x+2)$
$(x+3)(x+4)$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: $(x+3)(x+4)$

Los trozos de en medio son $4x$ y $3x$ , es decir, $7x$ , y el de la esquina, $3\cdot4$ , es 12.

Lo que te llevas:

Para multiplicar polinomios, multiplica cada término de uno por cada término del otro, y junta los semejantes.
$(x+2)(x+3)$ es $x^2+5x+6$ , y no $x^2+6$ .
Cada término lleva su signo, y $x$ multiplicado por $-1$ es $-x$ .
Para comprobarlo, da un valor a la $x$ .

Para la próxima: cómo se hace al revés, sacando factor común.