Regla de los signos: menos por menos es más

Miguel: «Juego a las cartas con mis primos. Hay cartas que suman puntos y cartas que restan. Mis puntos son lo que suman todas mis cartas».

Miguel: «He cogido dos cartas de 8, así que tengo $2\cdot8=16$ puntos».

Valentina: «Miguel ha multiplicado dos números positivos, 2 y 8».

Valentina: «Al multiplicar dos números positivos, ¿cómo sale el resultado?»

Positivo
Negativo
Depende de los números

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Positivo

$2\cdot8=16$ es positivo, como en todas las multiplicaciones que has hecho hasta ahora.

Miguel: «Ahora voy a coger tres cartas de −2».

Miguel: «A ojo: cuando las coja, ¿mis puntos subirán, bajarán o se quedarán igual?»

Subirán
Bajarán
Se quedarán igual

Piénsalo y despliega para seguir

Vamos a contarlo.

Miguel: «Ya las he cogido. Ahora tengo dos cartas de 8 y tres de −2. ¿Cuántos puntos tengo ahora?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Puntos: 10

Valentina: «Miguel ha cogido tres cartas de −2, como antes había cogido dos de 8. Así que es $3\cdot(-2)$ ».

Valentina: «Ha pasado de 16 a 10 puntos. ¿Cuánto es, entonces, $3\cdot(-2)$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

$3\cdot(-2)$ = −6

Valentina: «Así que $3\cdot(-2)=-6$ . Coger tres cartas que restan le ha restado 6 puntos: por eso bajan».

Ver la respuesta de la predicción

Respuesta: Bajarán

Si contestaste «Bajarán»:

Al principio dijiste que bajarían, y acertaste: si coges cartas que restan, pierdes puntos.

Si contestaste «Subirán»:

Al principio dijiste que subirían. Pero cada carta de −2 resta 2 puntos: Miguel tiene 6 menos.

Si contestaste «Se quedarán igual»:

Al principio dijiste que se quedarían igual. Pero las cartas de −2 cuentan: Miguel tiene 6 puntos menos.

Valentina: «En $3\cdot(-2)$ , Miguel ha multiplicado un número positivo y uno negativo».

Valentina: «Al multiplicar un número positivo y uno negativo, ¿cómo sale el resultado?»

Positivo
Negativo
Depende de los números

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Negativo

Coger cartas que restan siempre resta puntos: $3\cdot(-2)=-6$ .

Miguel: «Y ahora mi prima me va a quitar las tres cartas de −2».

Miguel: «A ojo: cuando me las quite, ¿mis puntos subirán, bajarán o se quedarán igual?»

Subirán
Bajarán
Se quedarán igual

Piénsalo y despliega para seguir

Vamos a contarlo.

Miguel: «Ya me las ha quitado. Me quedo con las dos cartas de 8. ¿Cuántos puntos tengo ahora?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Puntos: 16

Valentina: «Coger tres cartas es 3, y quitarlas es lo contrario, −3. Así que quitarle a Miguel las tres cartas de −2 es $(-3)\cdot(-2)$ ».

Valentina: «Ha pasado de 10 a 16 puntos. ¿Cuánto es, entonces, $(-3)\cdot(-2)$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

$(-3)\cdot(-2)$ = 6

Valentina: «Así que $(-3)\cdot(-2)=6$ . Quitar tres cartas que restan le ha sumado 6 puntos: por eso suben».

Ver la respuesta de la predicción

Respuesta: Subirán

Si contestaste «Subirán»:

Al principio dijiste que subirían, y acertaste: si te quitan cartas que restan, ganas puntos.

Si contestaste «Bajarán»:

Al principio dijiste que bajarían. Pero las cartas que le quitan restaban puntos: sin ellas, Miguel tiene 6 más.

Si contestaste «Se quedarán igual»:

Al principio dijiste que se quedarían igual. Pero las cartas de −2 contaban: sin ellas, Miguel tiene 6 puntos más.

Valentina: «Y en $(-3)\cdot(-2)$ , Miguel ha multiplicado dos números negativos».

Valentina: «Al multiplicar dos números negativos, ¿cómo sale el resultado?»

Positivo
Negativo
Depende de los números

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Positivo

Quitar cartas que restan siempre suma puntos: $(-3)\cdot(-2)=6$ .

Julia: «Sin cartas también se ve. Mira esta tabla: multiplico −3 por 2, por 1 y por 0».

Julia: «Cada vez multiplico por 1 menos, y sale 3 más. ¿Cuánto sale en $(-3)\cdot(-1)$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

$(-3)\cdot(-1)$ = 3

Julia: «Aun así, a mí me sale que $(-3)\cdot(-2)$ es −6. Si hay negativos, sale negativo».

Vega: «¿Tiene razón Julia?»

Sí: si hay negativos, sale negativo
No: es 6, los puntos que ganó Miguel
Depende de cuál vaya primero

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: No: es 6, los puntos que ganó Miguel

Lo dicen las cartas de Miguel y la tabla: $(-3)\cdot(-2)=6$ .

Vega: «Entonces, al multiplicar dos números enteros, ¿cuándo sale positivo?»

Cuando tienen el mismo signo
Cuando no hay ningún negativo
Cuando el primero es positivo

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Cuando tienen el mismo signo

$3\cdot2=6$ y $(-3)\cdot(-2)=6$ : los dos positivos o los dos negativos.

Con las cartas se ven los cuatro casos. Coger cartas es positivo, y quitarlas es negativo:

Coger 2 cartas de 8 es $2\cdot8=16$ , y ganas 16 puntos.
Coger 3 cartas de −2 es $3\cdot(-2)=-6$ , y pierdes 6.
Quitar 2 cartas de 8 es $(-2)\cdot8=-16$ , y pierdes 16.
Quitar 3 cartas de −2 es $(-3)\cdot(-2)=6$ , y ganas 6.

La regla de los signos. Al multiplicar dos números enteros, con el mismo signo, el resultado es positivo; con signos distintos, es negativo.

(-3)\cdot(-2)=6 \qquad 3\cdot(-2)=-6

Por eso se dice que «más por más es más», «más por menos es menos» y «menos por menos es más».

También sale de un patrón. Cada vez que se multiplica −3 por 1 menos, sale 3 más. Al pasar del 0, el patrón sigue, y los resultados son positivos: $(-3)\cdot(-1)=3$ y $(-3)\cdot(-2)=6$ .

Solo para multiplicar y dividir. Para sumar y restar no vale: $-3-5$ es −8, porque son dos deudas, de 3 € y de 5 €, que se juntan. Ahí no se multiplica nada.

Santiago: «Calcula $(-4)\cdot(-5)$ ».

Piénsalo antes de ver la respuesta

$(-4)\cdot(-5)$ = 20

Hugo: «Calcula $6\cdot(-3)$ ».

Piénsalo antes de ver la respuesta

$6\cdot(-3)$ = −18

Hugo: « $(-5)\cdot(-2)$ es 10. ¿Por qué es positivo?»

Porque hay dos menos
Porque 5 multiplicado por 2 son 10
Porque multiplica dos números con el mismo signo

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Porque multiplica dos números con el mismo signo

Los dos son negativos: el mismo signo, positivo.

Vega: «¿Cuál de estas cuentas da un número positivo?»

$(-2)\cdot5$
$(-2)\cdot(-5)$
$-2-5$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: $(-2)\cdot(-5)$

Los dos son negativos, el mismo signo: $(-2)\cdot(-5)=10$ .

Julia: «¿Cuánto es $-4-6$ ?»

$-10$
$10$
$-2$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: $-10$

Es una resta: dos deudas, de 4 y de 6, que se juntan. La regla de los signos no tiene nada que ver.

Santiago: «Tengo 2 puntos en el juego de cartas. Mi primo me quita 4 cartas de −3. ¿Cuántos puntos tengo ahora?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Puntos: 14

Hugo: «La respuesta es −12, pero se me ha olvidado la pregunta. ¿Cuál era?»

¿Cuánto es $(-3)\cdot(-4)$ ?
¿Cuánto es $(-3)+(-4)$ ?
¿Cuánto es $3\cdot(-4)$ ?

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: ¿Cuánto es $3\cdot(-4)$ ?

Con signos distintos, negativo: $3\cdot(-4)=-12$ .

Lo que te llevas:

Con el mismo signo, el producto es positivo: $(-3)\cdot(-2)=6$ .
Con signos distintos, es negativo: $3\cdot(-2)=-6$ .
Si te quitan cartas que restan, ganas puntos: menos por menos, más.
Para sumar no vale: $-3-5=-8$ .

Para la próxima: si la temperatura baja 3 grados cada hora, ¿cuánto tarda en bajar 12?