Problemas de fracciones: hallar el total

¿Cuánto tenía ahorrado Julia?

Julia: «¡Me he comprado la camiseta de mi grupo favorito! Me ha costado 12 €, que son $\frac{2}{5}$ de mis ahorros».

Santiago: «A ojo: ¿cuánto tenía ahorrado Julia?»

Menos de 12 €
Entre 12 € y 24 €
Más de 24 €

Piénsalo y despliega para seguir

Lo vamos a averiguar.

Santiago: «Fácil: $\frac{2}{5}$ de 12 son 4,80 €. Tenías 4,80 €».

Julia: «¿Tiene razón Santiago?»

Sí, $\frac{2}{5}$ de 12 son 4,80
No. Tenía que tener más de 12 €.
No. Tenía 12 · 5 = 60 €.

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: No. Tenía que tener más de 12 €.

12 € son solo una parte de sus ahorros: el total tiene que ser mayor.

Julia: «Mis 12 € son 2 de las 5 partes de la barra. ¿Cuánto vale una parte? ¿Y las 5 partes?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Una parte (€): 6
Las 5 partes (€): 30

Julia: «¡Eso es! Tenía 30 €».

Santiago: «A ver si cuadra: ¿cuánto son $\frac{2}{5}$ de 30 €?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Dos quintos de 30 (€): 12

Julia: «Yo lo hago de otra forma. Para ir del trozo al total, divido entre la fracción y hago $12:\frac{2}{5}$ ».

Santiago: «¿Le sale lo mismo?»

Sí, porque $12:\frac{2}{5}=12\cdot\frac{5}{2}=30$
No. Hay que multiplicar por $\frac{2}{5}$ .
No. No se puede dividir entre una fracción.

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Sí, porque $12:\frac{2}{5}=12\cdot\frac{5}{2}=30$

Dividir entre $\frac{2}{5}$ es preguntar «¿de qué número son 12 los dos quintos?».

Si conoces la parte y la fracción que es, el total se halla yendo hacia atrás:

Divide la parte entre el numerador: lo que vale una parte.
Multiplica por el denominador: el total.

Es lo mismo que dividir entre la fracción.

12:\frac{2}{5}=12\cdot\frac{5}{2}=30

Dos comprobaciones rápidas:

Si la fracción es menor que 1, el total tiene que ser mayor que la parte.
La fracción del total tiene que dar la parte: $\frac{2}{5}$ de 30 son 12.

Santiago: «Me he gastado 8 € en pienso para Coco, que son $\frac{1}{3}$ de lo que tenía. ¿Cuánto tenía?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Tenía (€): 24

Santiago: «En bici he recorrido 9 km, que son $\frac{3}{4}$ de la ruta. ¿Cuánto mide la ruta?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

La ruta (km): 12

Julia: «De mi grupo de telas aéreas, 15 vamos a la exhibición, que son $\frac{5}{8}$ del grupo. ¿Cuántas personas hay en el grupo?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Personas en el grupo: 24

Julia: «Dos problemas casi iguales. A: gasto $\frac{2}{5}$ de mis 30 €; ¿cuánto gasto? B: gasto 12 €, que son $\frac{2}{5}$ de mis ahorros; ¿cuánto tenía? ¿Qué operación resuelve cada uno?»

En A, $30\cdot\frac{2}{5}$ , y en B, $12:\frac{2}{5}$
Los dos: multiplicar por $\frac{2}{5}$ .
En A, $30:\frac{2}{5}$ , y en B, $12\cdot\frac{2}{5}$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: En A, $30\cdot\frac{2}{5}$ , y en B, $12:\frac{2}{5}$

En A conoces el total; en B, la parte. Por eso van al revés.

Lo que te llevas:

Del trozo al total: divide entre el numerador y multiplica por el denominador (es dividir entre la fracción). Si 12 € son $\frac{2}{5}$ , entonces $12:2=6$ y $6\cdot5=30$ €.
El total sale mayor que la parte.
Antes de operar: ¿conoces el total o la parte?

Para la próxima: un cuarto de lo que queda.

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