¿Quién comió más tarta?

Comparar fracciones con distinto denominador

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Vega: «¡Qué bien lo pasamos ayer en mi cumple! Había dos tartas iguales: una partida en 7 trozos iguales y otra en 10».

Vega: «Marcos se comió 2 trozos de la tarta de 7, y tú, 3 trozos de la de 10».

Marcos

Tú

Marcos: «Sin hacer cuentas: ¿quién crees que comió más tarta?»

Yo
Marcos
Los dos lo mismo

Piénsalo y despliega para seguir

No te decimos todavía si aciertas: lo vamos a averiguar.

Nora: «Comiste más tú: te comiste 3 trozos, y Marcos solo 2».

Marcos: «Ya, pero sus trozos eran más pequeños: su tarta estaba partida en 10, y la mía, en 7».

Vega: «¿Quién tiene razón?»

Nora. 3 trozos son más que 2.
Marcos. Sus trozos eran más grandes.
Los dos tienen parte de razón, pero ningún argumento basta.

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Los dos tienen parte de razón, pero ningún argumento basta.

Nora se fija en cuántos trozos y Marcos en cómo de grandes son. Hay que tener en cuenta las dos cosas a la vez.

Marcos: «Piénsalo al revés: ¿en qué caso sería facilísimo saber quién comió más?»

Si los trozos de las dos tartas fueran del mismo tamaño
Si las dos tartas estuvieran partidas en más trozos
Si las dos tartas fueran del mismo tamaño

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Si los trozos de las dos tartas fueran del mismo tamaño

Entonces bastaría con contar trozos.

Vega: «Toma mi cuchillo mágico: parte cada trozo en trozos más pequeños hasta que las dos tartas tengan trozos del mismo tamaño».

Piénsalo antes de ver la respuesta

Marcos: cada trozo en 10. Tú: cada trozo en 7. Así las dos quedan con 70 trozos iguales.

Las dos tartas tienen ahora 70 trozos, todos del mismo tamaño.

Nora: «Ahora todos los trozos son iguales. ¿Cuántos de esos 70 trocitos se comió cada uno?»

Nora: «Recuerda: cada trozo de Marcos se ha partido en 10 trocitos, y cada trozo tuyo, en 7».

Marcos

Tú

Piénsalo antes de ver la respuesta

Marcos: 20
Tú: 21

Marcos: «Yo, 20 de 70, y tú, 21 de 70. Comiste más tú… ¡por un solo trocito de setenta!»

Vega: «¿Y si tu tarta hubiera estado partida en 12 trozos y te hubieras comido 3? Marcos, igual: 2 de 7».

Vega: «Sin hacer cuentas: ¿quién crees que habría comido más?»

Marcos

Tú

Yo
Marcos
Los dos lo mismo

Piénsalo y despliega para seguir

Lo vamos a comprobar con el cuchillo mágico.

Marcos: «Vuelve a usar el cuchillo mágico: parte cada trozo hasta que las dos tartas tengan trozos del mismo tamaño».

Piénsalo antes de ver la respuesta

Marcos: cada trozo en 12. Tú: cada trozo en 7. Así las dos quedan con 84 trozos iguales.

Las dos tartas tienen ahora 84 trozos, todos del mismo tamaño.

Nora: «¿Cuántos de los 84 trocitos se comió cada uno?»

Nora: «Recuerda: cada trozo de Marcos se ha partido en 12 trocitos, y cada trozo tuyo, en 7».

Marcos

Tú

Piénsalo antes de ver la respuesta

Marcos: 24
Tú: 21

Marcos: «Yo, 24 de 84, y tú, 21 de 84. ¡Esta vez comí más yo, aunque me comiera menos trozos!»

Lo que has hecho con el cuchillo tiene nombre: reducir a común denominador.

El denominador (el número de abajo) dice en cuántas partes iguales se parte la tarta, o sea, cómo de grande es cada trozo. Por eso se llama así: denominar es poner nombre. Séptimos, décimos, setentavos... son nombres de tamaños de trozo.

Para comparar dos fracciones con distinto denominador:

Parte los trozos hasta que los de las dos sean del mismo tamaño.
Si partes cada trozo en 10, los trozos comidos también se multiplican por 10.
Ahora ya puedes contar: compara los numeradores.

\frac{2}{7}=\frac{2\cdot 10}{7\cdot 10}=\frac{20}{70}

\frac{3}{10}=\frac{3\cdot 7}{10\cdot 7}=\frac{21}{70}

Marcos: «¿Qué es más: $\frac{3}{4}$ de pizza o $\frac{5}{8}$ de pizza?»

$\frac{3}{4}$
$\frac{5}{8}$
Son iguales

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: $\frac{3}{4}$

Aquí bastaba con partir cada cuarto en 2: $\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$ , y 6 octavos son más que 5. No siempre hace falta multiplicar los dos denominadores.

Vega: «¿Y qué es más: $\frac{2}{3}$ o $\frac{3}{5}$ de tarta?»

$\frac{2}{3}$
$\frac{3}{5}$
Son iguales

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: $\frac{2}{3}$

En quinceavos: $\frac{2}{3}=\frac{10}{15}$ y $\frac{3}{5}=\frac{9}{15}$ .

Vega: «Lo de mi cumple yo lo veo fácil: a Marcos le sobraron 5 trozos y a ti, 7. Como a ti te sobraron más, comiste menos. ¿Tengo razón?»

Sí, tienes razón
No. Los trozos que sobran tampoco son del mismo tamaño.
No. Hay que contar los trozos que se comieron.

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: No. Los trozos que sobran tampoco son del mismo tamaño.

Es el mismo error que el de Nora al principio, pero con los trozos que sobran.

Nora: «En nuestra clase, 12 de 25 personas tienen perro. En la de al lado, 10 de 20. ¿En qué clase es más habitual tener perro?»

En la nuestra, hay más personas con perro
En la clase de al lado
Igual en las dos

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: En la clase de al lado

$\frac{12}{25}=\frac{48}{100}$ y $\frac{10}{20}=\frac{50}{100}$ : 48 de cada 100 frente a 50 de cada 100. Las fracciones no son solo tartas: sirven para comparar proporciones.

Lo que te llevas:

Contar trozos solo vale si son del mismo tamaño.
Para conseguirlo, partes los trozos: eso es buscar un denominador común.
Partir no cambia cuánta tarta hay: $\frac{2}{7}$ y $\frac{20}{70}$ son la misma cantidad.

Para la próxima: con $\frac{5}{12}$ y $\frac{7}{18}$ , multiplicar denominadores da 216 trocitos. ¿Habrá un número más pequeño que sirva?