Lenguaje algebraico: qué es y para qué sirve
¿Por qué siempre sale 5?
Haz la lección
Valentina: «Os hago un truco de magia. Pensad un número. Multiplicadlo por 2, sumadle 10, dividid entre 2 y restadle el número que pensasteis».
Hugo: «Yo he pensado 7, y me ha salido 5».
Julia: «Yo he pensado 3, y también me ha salido 5».
Valentina: «¿Sale 5 con cualquier número que pienses?»
- Sí, con cualquiera
- Con algunos números sí, y con otros no
- No se puede saber sin probarlos todos
Piénsalo y despliega para seguir
Lo vas a descubrir. Primero, con otro número.
Valentina: «Haz el truco con 20. ¿Qué número te sale al final?»
Piénsalo antes de ver la respuesta
- Lo que sale al final: 5
Valentina: «¡5 otra vez! Con 7, con 3 y con 20».
Hugo: «Pero no podemos probar todos los números: no se acaban nunca. ¿Cómo sabemos que sale 5 con todos?»
Valentina: «Imagina que el número que piensas son canicas dentro de una bolsa cerrada. Nadie ve cuántas hay».
Valentina: «Multiplicar por 2 es tener 2 bolsas iguales, con las mismas canicas dentro. Y sumar 10 es poner 10 canicas más».
Valentina: «Ahora divide entre 2: reparte todo en dos montones iguales. ¿Qué hay en cada montón?»
- 1 bolsa y 10 canicas
- 1 bolsa y 5 canicas
- 2 bolsas y 5 canicas
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta: 1 bolsa y 5 canicas
Una bolsa en cada montón, y las 10 canicas, 5 en cada uno.
Valentina: «Te quedas con un montón. Y ahora restas el número que pensaste, es decir, quitas la bolsa. ¿Qué queda?»
- 5 canicas, haya lo que haya en la bolsa
- Depende de cuántas canicas haya en la bolsa
- Nada, porque se ha quitado todo
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta: 5 canicas, haya lo que haya en la bolsa
Lo que hay en la bolsa se va con la bolsa. Las 5 canicas que quedan son la mitad de las 10 que pusiste tú.
Valentina: «Haya lo que haya en la bolsa, quedan 5 canicas. Así que sale 5 con cualquier número, sin probarlos todos».
Ver la respuesta de la predicción
Respuesta: Sí, con cualquiera
Si contestaste «Sí, con cualquiera»:
Al principio dijiste que sí, con cualquiera, y acertaste: la bolsa vale para todos los números.
Si contestaste «Con algunos números sí, y con otros no»:
Al principio dijiste que con algunos sí y con otros no. La bolsa vale para todos los números: con todos sale 5.
Si contestaste «No se puede saber sin probarlos todos»:
Al principio dijiste que no se podía saber sin probarlos todos. Con la bolsa se sabe sin probarlos: vale para todos.
Julia: «Ahora, el truco con palabras, sin bolsas. Piensas un número y lo multiplicas por 2, y tienes . Le sumas 10, y tienes ».
Julia: «Después divides entre 2. ¿Qué te queda?»
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta:
La mitad de es el número, y la mitad de 10 es 5.
Julia: «Y al restar el número que pensaste, quedan 5. Así queda el truco entero, con palabras. Cada flecha es una cuenta del truco».
Julia: «Escribir “número” cada vez también es largo. En su lugar se escribe una letra, la . Así, se escribe ».
Julia: «Entonces, ¿cómo se escribe ?»
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta:
es el número multiplicado por 2, y , el 10 que se suma.
Julia: «Y el truco entero, con la en vez de “número”. Es lo mismo, pero más corto».
Miguel: «Pues yo ya sé cuánto vale la . Vale 25, porque la x es la letra 25 del abecedario».
Valentina: «¿Tiene razón Miguel?»
- Sí, porque cada letra vale su puesto en el abecedario
- No, porque la vale 0 hasta que se sepa
- No: la es el número que pensó cada uno, y puede ser cualquiera
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta: No: la es el número que pensó cada uno, y puede ser cualquiera
Para Hugo, la es 7, y para Julia, 3. La letra sirve justo porque vale para todos.
Valentina: «Ahora cambio el truco: en vez de sumar 10, sumo 20. Lo demás, igual. ¿Qué le sale a cualquiera?»
- Siempre 20, lo que se suma
- Depende del número que piense
- Siempre 10, la mitad de lo que se suma
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta: Siempre 10, la mitad de lo que se suma
Sale : siempre la mitad de lo que sumas, piense lo que piense.
Una letra sirve para escribir un número que no se conoce, o un número cualquiera. Casi siempre es la .
Entre un número y una letra, el «·» no se escribe: es , el doble de .
Letras y números unidos con operaciones, como o , forman una expresión algebraica. Escribir con letras y números es usar el lenguaje algebraico.
Con él, el truco se demuestra de una vez para todos los números, sin probarlos uno a uno.
Hugo: «Pienso un número, lo multiplico por 3 y le sumo 2. Con bolsas, es esto. Escríbelo con las fichas».
Piénsalo antes de ver la respuesta
Operación:
Julia: «Piensa un número y súmale 4. Escribe con las fichas lo que te sale».
Piénsalo antes de ver la respuesta
Operación:
Vega: «La mitad de es . ¿Por qué?»
- Porque con , la mitad de es 5, y también es 5
- Porque solo se divide entre 2 el último número
- Porque la mitad de es , y la mitad de 10 es 5
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta: Porque la mitad de es , y la mitad de 10 es 5
La mitad se toma de todo: de y de 10. Y vale para cualquier número que sea la .
Santiago: «Vega tiene años. La respuesta es , pero se me ha olvidado la pregunta. ¿Cuál era?»
- ¿Cuántos años tenía Vega hace 3 años?
- ¿Cuántos años tendrá Vega dentro de 3 años?
- ¿Cuánto es la edad de Vega multiplicada por 3?
Piénsalo antes de ver la respuesta
Respuesta: ¿Cuántos años tendrá Vega dentro de 3 años?
Dentro de 3 años tendrá 3 más. Si hoy tiene 12, tendrá 15, que es .
Lo que te llevas:
- Una letra sirve para un número que no se conoce, o para un número cualquiera.
- es 2 multiplicado por , el doble de .
- La letra demuestra que el truco vale para todos los números.
- La no vale su puesto en el abecedario.
Para la próxima: ¿cómo se escribe «5 menos que »?