Ecuaciones con paréntesis: cómo resolverlas

¿Cuánto cuesta cada entrada?

Julia: «He ido al cine con dos amigas. Hemos comprado 3 entradas y, con cada una, unas palomitas de 2 €. En total hemos pagado 27 €».

Julia: «¿Cuánto cuesta cada entrada?»

7 €
9 €
25 €

Piénsalo y despliega para seguir

Vamos a verlo con las cuentas.

Julia: «Las tres hemos pagado lo mismo: una entrada y unas palomitas. ¿Cuánto ha pagado cada una?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Cada una (€): 9

Julia: «Cada una ha pagado 9 €, con unas palomitas de 2 €. ¿Cuánto cuesta una entrada?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Una entrada (€): 7

Julia: «Cada entrada cuesta 7 €. Con la $x$ , cada una pagó $x+2$ , y las tres, $3(x+2)=27$ . Hemos dividido los dos lados entre 3 y después hemos quitado 2».

\begin{aligned} 3(x+2)&=27\\ x+2&=9&&\text{divido entre }3\\ x&=7&&\text{quito }2 \end{aligned}

Ver la respuesta de la predicción

Respuesta: 7 €

Si contestaste «7 €»:

Al principio dijiste 7 €, y acertaste: 7 € y 2 € de palomitas son 9 €, y las tres pagan 27 €.

Si contestaste «9 €»:

Al principio dijiste 9 €. 9 € es lo que paga cada una, con las palomitas. La entrada sola cuesta 7 €.

Si contestaste «25 €»:

Al principio dijiste 25 €. 25 € es $27-2$ , como si hubiera un solo paquete de palomitas. Son tres entradas y tres palomitas.

Valentina: «Yo lo hago de otra forma: quito el paréntesis, como con los sobres de cromos. El 3 multiplica a todo lo de dentro, a la $x$ y al 2».

\begin{aligned} 3(x+2)&=27\\ 3x+6&=27\\ 3x&=21\\ x&=7 \end{aligned}

Valentina: «Sale lo mismo, 7 €».

Miguel: «Yo quito el paréntesis así, $3x+2=27$ . Me queda $3x=25$ , y 25 entre 3 no da exacto».

Hugo: «¿Qué le ha pasado a Miguel?»

Nada, porque el 3 solo multiplica a la $x$
Ha multiplicado solo la $x$ : el 3 multiplica también al 2, y es $3x+6$
Nada: la entrada no cuesta un número exacto de euros

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Ha multiplicado solo la $x$ : el 3 multiplica también al 2, y es $3x+6$

Tres entradas y tres palomitas: $3x+6$ . Con eso, $3x=21$ y $x=7$ .

Vega: «Yo tenía 20 €. Me he comprado un libro y un cuaderno de 3 €, y me quedan 12 €. ¿Cuánto cuesta el libro?»

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El libro (€): 5

Vega: «Con la $x$ , el precio del libro, es $20-(x+3)=12$ . El “−” quita el libro y el cuaderno, los dos: el 3 también lleva “−”».

\begin{aligned} 20-(x+3)&=12\\ 20-x-3&=12\\ 17-x&=12\\ x&=5 \end{aligned}

Vega: «La primera vez escribí $20-x+3=12$ , y me salió que el libro costaba 11 €».

Santiago: «¿Qué le pasó a Vega?»

El «−» quita el libro y el cuaderno, así que el 3 también lleva «−»
Nada, porque el paréntesis se quita sin más
Tenía que poner «+» en la $x$ , y quedaba $20+x+3$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: El «−» quita el libro y el cuaderno, así que el 3 también lleva «−»

Con 11 €, el libro y el cuaderno costarían 14 €, y a Vega le quedarían 6 €, no 12 €.

Julia: «Entonces, ¿qué se hace siempre con el número de delante del paréntesis?»

Dividir los dos lados entre él
Multiplicarlo por todo lo de dentro
Multiplicarlo solo por la $x$

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Respuesta: Multiplicarlo por todo lo de dentro

Así sale siempre una ecuación sin paréntesis, que se resuelve como las de antes.

Para quitar un paréntesis, el número de delante multiplica a todo lo de dentro. Así, $3(x+2)$ es $3x+6$ .

Un «−» delante cambia el signo de todo lo de dentro. Así, $-(x+3)$ es $-x-3$ .

Si el número de delante divide a lo del otro lado, también se pueden dividir los dos lados entre él.

Con paréntesis y la $x$ en los dos lados, se quita el paréntesis y se resuelve como siempre.

\begin{aligned} 2(x-1)&=x+5\\ 2x-2&=x+5\\ x&=7 \end{aligned}

Con 7, los dos lados dan 12.

Hugo: «Compro 4 bocadillos y, con cada uno, un zumo de 3 €. Pago 36 €: $4(x+3)=36$ . ¿Cuánto cuesta un bocadillo?»

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Un bocadillo (€): 6

Santiago: «¿Cuál es la solución de $15-(x+4)=6$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

$x$ = 5

Valentina: «¿Cuál es la solución de $3(x-2)=x+8$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

$x$ = 7

Miguel: « $20-(x+3)$ es $20-x-3$ . ¿Por qué el 3 lleva «−»?»

Porque el «−» quita el libro y el cuaderno, los dos
Porque el último siempre cambia de signo
Porque el 3 es más pequeño que el 20

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Porque el «−» quita el libro y el cuaderno, los dos

El «−» de delante va con todo lo de dentro.

Vega: «La solución es 4, pero se me ha olvidado la ecuación. ¿Cuál era?»

$2x+1=10$
$2(x+1)=8$
$2(x+1)=10$

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Respuesta: $2(x+1)=10$

Si pruebas con 4, sale $2(4+1)$ , que es $2\cdot5$ , es decir, 10.

Lo que te llevas:

El número de delante multiplica a todo lo de dentro, y $3(x+2)$ es $3x+6$ .
Un «−» delante cambia el signo de todo lo de dentro.
Quita el paréntesis y resuelve como siempre.
Comprueba siempre la solución.

Para la próxima: ¿y si la ecuación tiene fracciones?

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