Ecuaciones con fracciones y denominadores

¿Cuántos cromos hay en el álbum de Hugo?

Hugo: «En mi álbum, la mitad de los cromos son de fútbol, y la tercera parte, de baloncesto. Entre los de fútbol y los de baloncesto tengo 10 cromos».

Hugo: «¿Cuántos cromos hay en mi álbum?»

2 cromos
12 cromos
60 cromos

Piénsalo y despliega para seguir

Vamos a dibujarlo.

Valentina: «Partimos tus cromos en 6 partes iguales: la mitad son 3 partes, y la tercera parte, 2. Los de fútbol y los de baloncesto son 5 partes, y son 10 cromos. ¿Cuántos cromos hay en cada parte?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Cromos en cada parte: 2

Valentina: «Cada parte son 2 cromos. ¿Cuántos cromos hay en el álbum, que son las 6 partes?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Cromos del álbum: 12

Hugo: «Tengo 12 cromos: 6 de fútbol, que son la mitad, y 4 de baloncesto, que son la tercera parte. Y 6 y 4 son 10».

Ver la respuesta de la predicción

Respuesta: 12 cromos

Si contestaste «12 cromos»:

Al principio dijiste 12 cromos, y acertaste.

Si contestaste «2 cromos»:

Al principio dijiste 2 cromos. 2 cromos es lo que vale una parte de la barra. El álbum tiene 6 partes.

Si contestaste «60 cromos»:

Al principio dijiste 60 cromos. Con 60, la mitad serían 30 y la tercera parte, 20: muchos más que 10.

Valentina: «Con la $x$ , los cromos del álbum, es $\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=10$ . Para quitar las fracciones, multiplico los dos lados por 6, las 6 partes de la barra».

\begin{aligned} \tfrac{x}{2}+\tfrac{x}{3}&=10\\ 3x+2x&=60&&\text{multiplico por }6\\ 5x&=60\\ x&=12 \end{aligned}

Valentina: «Sale lo mismo: 12 cromos. El 6 es el mcm de 2 y de 3».

Julia: «Yo multipliqué por 6 solo las fracciones, $3x+2x=10$ , y me salió $x=2$ ».

Miguel: «¿Qué le pasó a Julia?»

Nada, porque el 10 no tiene fracción y no se toca
No multiplicó el 10: hay que multiplicar todo, los dos lados
Tenía que multiplicar por 5

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: No multiplicó el 10: hay que multiplicar todo, los dos lados

Como en la balanza, lo mismo en los dos lados. Por 6, el 10 pasa a 60, y $x=12$ .

Santiago: «Con un numerador largo, como $\frac{x+1}{3}$ , al multiplicar por 6 queda $2(x+1)$ : la raya de fracción hace de paréntesis».

\begin{aligned} \tfrac{x+1}{3}&=\tfrac{x}{2}-1\\ 2(x+1)&=3x-6&&\text{multiplico por }6\\ 2x+2&=3x-6\\ 8&=x \end{aligned}

Santiago: «Con 8, los dos lados dan 3».

Hugo: «Yo escribí $2x+1=3x-6$ , y me salió $x=7$ ».

Valentina: «¿Qué le pasó a Hugo?»

Multiplicó por 2 solo la $x$ : el numerador va entero, $2(x+1)$
Nada, porque el 1 no tiene $x$ y no se multiplica
Tenía que multiplicar por 3, el denominador

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Multiplicó por 2 solo la $x$ : el numerador va entero, $2(x+1)$

La raya de fracción hace de paréntesis. Con 7 se ve: $\frac{7+1}{3}$ es $\frac{8}{3}$ , y $\frac{7}{2}-1$ es 2,5.

Hugo: «Entonces, ¿por cuánto se multiplica para quitar los denominadores?»

Por el denominador más grande
Solo las fracciones, cada una por su denominador
Por el mcm de los denominadores, todos los términos de los dos lados

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Por el mcm de los denominadores, todos los términos de los dos lados

El mcm se va con todos los denominadores, y multiplicar todo es hacer lo mismo en los dos lados.

Para quitar los denominadores, se multiplican los dos lados, todos los términos, por el mcm de los denominadores. También los términos que no tienen fracción.

La raya de fracción hace de paréntesis. Así, $\frac{x+1}{3}$ multiplicado por 6 es $2(x+1)$ , y no $2x+1$ .

Por ejemplo, en $\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=10$ , el mcm de 2 y 3 es 6.

\begin{aligned} 3x+2x&=60\\ 5x&=60\\ x&=12 \end{aligned}

Se comprueba: la mitad de 12 es 6, la tercera parte es 4, y 6 y 4 suman 10.

Vega: «¿Cuál es la solución de $\frac{x}{2}+\frac{x}{4}=9$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

$x$ = 12

Julia: «¿Cuál es la solución de $\frac{x}{3}+2=7$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

$x$ = 15

Miguel: «¿Cuál es la solución de $\frac{x-1}{2}=\frac{x+2}{3}$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

$x$ = 7

Santiago: «Al multiplicar $\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=10$ por 6, ¿por qué se multiplica también el 10?»

Porque es un número grande
Porque hay que hacer lo mismo en los dos lados, a todo
Porque 10 es par

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Porque hay que hacer lo mismo en los dos lados, a todo

Si un lado se multiplica por 6 y el otro no, dejan de valer lo mismo.

Valentina: «La solución es 6, pero se me ha olvidado la ecuación. ¿Cuál era?»

$\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=5$
$\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=6$
$\frac{x}{2}=6$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: $\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=5$

La mitad de 6 es 3, la tercera parte es 2, y 3 y 2 suman 5.

Lo que te llevas:

Para quitar los denominadores, multiplica los dos lados por el mcm.
Multiplica todos los términos, también los que no tienen fracción.
La raya de fracción hace de paréntesis, y $\frac{x+1}{3}$ por 6 es $2(x+1)$ .
Comprueba siempre la solución.

Para la próxima: ¿cómo se plantea un problema con una ecuación?

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