Cómo hacer ecuaciones de primer grado

¿Qué puedo quitar de la balanza?

Hugo: «En mi balanza hay 3 coches iguales y 2 canicas en un plato, y 1 coche y 10 canicas en el otro. Está en equilibrio».

Hugo: «Quiero saber cuánto pesa un coche, pero hay coches en los dos platos».

Hugo: «¿Qué puedo quitar sin que la balanza se incline?»

Un coche de cada plato
2 canicas del plato de la izquierda
Un coche de la izquierda y una canica de la derecha

Piénsalo y despliega para seguir

Vamos a probarlo.

Hugo: «Quito un coche de cada plato. Sigue en equilibrio, porque he quitado lo mismo de los dos».

Ver la respuesta de la predicción

Respuesta: Un coche de cada plato

Si contestaste «Un coche de cada plato»:

Al principio dijiste un coche de cada plato, y acertaste: los dos platos pierden lo mismo.

Si contestaste «2 canicas del plato de la izquierda»:

Al principio dijiste 2 canicas de la izquierda. Si solo se quitan de un plato, ese plato pesa menos y la balanza se inclina. Ahora lo verás.

Si contestaste «Un coche de la izquierda y una canica de la derecha»:

Al principio dijiste un coche de la izquierda y una canica de la derecha. Un coche pesa más que una canica: los platos pierden cosas distintas, y la balanza se inclina.

Hugo: «Antes había probado a quitar 2 canicas solo del plato de la izquierda, y mira lo que pasó».

Valentina: «¿Por qué se inclinó?»

Porque quitó 2 canicas de un plato y no del otro
Porque las canicas no se pueden quitar
No debería: 2 canicas pesan muy poco

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Porque quitó 2 canicas de un plato y no del otro

El plato de la izquierda pesa 2 canicas menos que antes, y el otro no ha cambiado. Para que siga en equilibrio, hay que quitar 2 canicas de los dos.

Valentina: «Volvemos a 2 coches y 2 canicas en un plato, y 10 canicas en el otro. ¿Cuántas canicas quito de cada plato para que en uno queden solo coches?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Canicas de cada plato: 2

Valentina: «Quedan 2 coches en un plato y 8 canicas en el otro. ¿Cuántas canicas pesa un coche?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Canicas que pesa un coche: 4

Julia: «Es la misma balanza del principio, pero cada coche es una caja con una $x$ , y las canicas, una pesa con su número. A la izquierda hay $3x+2$ , y a la derecha, $x+10$ ».

Julia: «¿Qué quito primero de los dos platos?»

El 2 del plato de la izquierda
Una $x$ de cada plato
Una $x$ de la izquierda y el 10 de la derecha

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Una $x$ de cada plato

Como el coche de cada plato. Quedan $2x+2$ a la izquierda y 10 a la derecha.

Julia: «Quedan $2x+2$ y 10. ¿Cuánto quito de los dos platos para que en uno queden solo las $x$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Lo que quito de cada plato: 2

Julia: «Quedan $2x$ a la izquierda y 8 a la derecha. ¿Cuánto vale una $x$ ?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Una $x$ : 4

Julia: «Y ahora, escrito sin balanza. Cada paso es una ecuación nueva, en su línea, y a la derecha va lo que se ha hecho en los dos lados».

\begin{aligned} 3x+2&=x+10\\ 2x+2&=10&&\text{quito }x\\ 2x&=8&&\text{quito }2\\ x&=4&&\text{divido entre }2 \end{aligned}

Julia: «Antes, en $2x=8$ , yo quitaba el 2 restando, $8-2$ , y me salía $x=6$ ».

Santiago: «¿Qué le pasaba a Julia?»

Nada, porque el 2 se quita restando
El 2 multiplica a la $x$ : hay que dividir entre 2, y $x=4$
Tenía que sumar 2, y $x=10$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: El 2 multiplica a la $x$ : hay que dividir entre 2, y $x=4$

$2x$ son dos coches. Se reparten los dos lados en dos mitades: $x=4$ .

Santiago: «Ahora comprueba que 4 es la solución de $3x+2=x+10$ . Sustituye la $x$ por 4. ¿Cuánto da cada lado?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

$3\cdot4+2$ = 14
$4+10$ = 14

Hugo: «Los dos lados dan 14. Entonces, ¿qué puedes hacer sin que la balanza se incline?»

Quitar de cada plato lo que haga falta para que el coche quede solo
Quitar lo mismo de los dos platos, pero nunca repartir
Lo mismo en los dos platos: quitar, poner o repartir

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Lo mismo en los dos platos: quitar, poner o repartir

Si los dos platos cambian igual, siguen pesando lo mismo.

Resolver una ecuación es encontrar su solución. Se hace como en la balanza: lo mismo en los dos lados.

En los dos lados se puede sumar, restar, multiplicar o dividir el mismo número (menos dividir entre 0), y la igualdad sigue siendo verdad.

Cada paso es una ecuación nueva, debajo de la anterior. Nunca se encadenan con «=», porque los lados de una no son iguales a los de otra.

\begin{aligned} 3x+2&=x+10\\ 2x+2&=10&&\text{quito }x\\ 2x&=8&&\text{quito }2\\ x&=4&&\text{divido entre }2 \end{aligned}

Al final, se comprueba. Si $x$ vale 4, el lado izquierdo es $3\cdot4+2$ , que es 14, y el derecho es $4+10$ , que también es 14.

Miguel: «En mi balanza hay 4 coches y 3 canicas en un plato, y 1 coche y 15 canicas en el otro. ¿Cuántas canicas pesa un coche?»

Piénsalo antes de ver la respuesta

Canicas que pesa un coche: 4

Vega: «Ahora sin balanza. ¿Cuál es la solución de $5x+3=2x+18$ ? Escribe debajo cada paso, una ecuación en cada línea».

Piénsalo antes de ver la respuesta

$x$ = 5

Santiago: «En $2x=8$ , la $x$ es 4. ¿Por qué se divide y no se resta?»

Porque el 2 está delante
Porque $2x$ es 2 multiplicado por $x$ , y se reparte en dos mitades
Porque dividir da un número más pequeño

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: Porque $2x$ es 2 multiplicado por $x$ , y se reparte en dos mitades

El 2 multiplica a la $x$ , y lo contrario de multiplicar es dividir.

Valentina: «La solución es 3, pero se me ha olvidado la ecuación. ¿Cuál era?»

$4x+1=x+10$
$4x+1=x+13$
$2x=3$

Piénsalo antes de ver la respuesta

Respuesta: $4x+1=x+10$

Si $x$ vale 3, el lado izquierdo es $4\cdot3+1$ , que es 13, y el derecho es $3+10$ , que también es 13.

Lo que te llevas:

Para resolver una ecuación, haz lo mismo en los dos lados.
Cada paso es una ecuación nueva.
En $2x=8$ , el 2 multiplica, así que se divide entre 2.
Al final, sustituye la $x$ y comprueba que los dos lados dan lo mismo.

Para la próxima: ¿y si hay que quitar canicas que no están?

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